II Um campo elétrico pode induzir um dipolo elétrico em um átomo ou molécula neutra empurrando a carga negativa para um lado e puxando a positiva para o outro. O momento de dipolo de um dipolo induzido é diretamente proporcional ao campo elétrico, isto é, \vec{p}=\alpha \vec{E}, onde \alpha é chamado de polarizabilidade da molécula. Um campo mais intenso estica a molécula ainda mais e induz um momento de dipolo grande.
a. Qual é unidade do SI para \alpha ?
b. Um íon com carga q encontra-se a uma distância r de uma molécula de polarizabilidade \alpha. Obtenha uma expressão para a força \vec{F}_{\text {ion sobre o dipolo }}.

Passo 1

O enunciado trata de dipolos elétricos induzidos em moléculas neutras por um campo externo. A polarizabilidade \alpha relaciona o momento de dipolo \vec p ao campo \vec E via
\vec p = \alpha \,\vec E.
Na parte (a) precisamos achar a unidade SI de \alpha. Na parte (b) temos um íon de carga q a uma distância r de uma molécula de polarizabilidade \alpha; devemos obter a força que o íon exerce sobre o dipolo induzido.

Passo 2

Para achar a unidade de \alpha escrevemos
\alpha = \frac{p}{E}.
O momento de dipolo p tem unidade Coulomb‐metro e o campo E tem unidade Newton por Coulomb. Assim,
[\alpha] = \frac{\text{C}\cdot\text{m}}{\text{N}/\text{C}} = \frac{\text{C}^2\,\text{m}}{\text{N}}
e, como \text{N} = \text{J}/\text{m}, isso equivale a
[\alpha] = \frac{\text{C}^2\,\text{m}^2}{\text{J}}.

Passo 3

A campo elétrico de uma carga pontual q a uma distância r é
\vec E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat r \equiv k\,\frac{q}{r^2}\,\hat r,
onde k=1/(4\pi\varepsilon_0). A molécula adquire o dipolo
\vec p = \alpha\,\vec E(r) = \alpha\,k\,\frac{q}{r^2}\,\hat r.
Em um campo não uniforme, a força sobre um dipolo é
\vec F = (\vec p\cdot\nabla)\,\vec E.
Como \vec E é radial, usa‐se
\frac{dE}{dr} = \frac{d}{dr}\Bigl(k\frac{q}{r^2}\Bigr) = -2\,k\,\frac{q}{r^3} = -2\,\frac{E}{r},
e então
\vec F = \alpha\,(E\,\hat r)\,\frac{dE}{dr}\,\hat r = \alpha\,E\Bigl(-2\,\frac{E}{r}\Bigr)\hat r = -2\,\alpha\,\frac{k^2\,q^2}{r^5}\,\hat r.
Substituindo k=1/(4\pi\varepsilon_0), obtemos
\vec F = -\,\frac{2\,\alpha\,q^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^5}\,\hat r,
indicando atração radial.

Resposta

(a) Unidade de \alpha:
\displaystyle \frac{\text{C}^2\,\text{m}}{\text{N}} = \frac{\text{C}^2\,\text{m}^2}{\text{J}}.\n
(b)
\boxed{\vec F = -\,\frac{2\,\alpha\,q^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^5}\,\hat r.}

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