\begin{gathered} I=\iint_{R} x y d x d y \\\ \text { na regiāo } \mathrm{R}=\{(x, y) \mid 2<=\mathrm{x}<=6,3<=\mathrm{y}<=4\} \end{gathered}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla I dada por
I=\iint_{R} x y \, dx\, dy
na região retangular
R=\{(x,y)\mid 2 \le x \le 6,\; 3 \le y \le 4\}.
Ou seja, a única pergunta é: qual é o valor numérico de I, usando as informações do domínio x\in[2,6] e y\in[3,4]?
Passo 2
Ideia principal (intuição): como a região R é um retângulo e a função f(x,y)=xy é contínua, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (usar uma integral dentro da outra). Isso significa escrever
I=\int_{y=3}^{4}\left(\int_{x=2}^{6} x y \, dx\right) dy
ou trocando a ordem
I=\int_{x=2}^{6}\left(\int_{y=3}^{4} x y \, dy\right) dx.
Explico por que isso é válido: Fubini (num nível simples) diz que para funções contínuas em retângulos a integral dupla é igual à integral iterada — podemos integrar por uma variável mantendo a outra fixa, e depois integrar o resultado.
Passo 3
Vamos calcular a integral iterada integrando primeiro em x. Escrevo a integral interior:
\int_{x=2}^{6} x y \, dx.
Aqui y é vista como constante (porque estamos integrando em x). Então podemos fatorar y para fora da integral em x:
\int_{x=2}^{6} x y \, dx = y \int_{x=2}^{6} x \, dx.
Agora lembro a primitiva de x: uma primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^2. Então
\int_{x=2}^{6} x \, dx = \left.\tfrac{1}{2}x^2\right|_{2}^{6} = \tfrac{1}{2}(6^2) - \tfrac{1}{2}(2^2).
Atalho (insight útil para prova): como xy é produto de uma função de x por uma função de y, ou seja xy = x\cdot y, na região retangular vale a propriedade
\iint_{R} x y \, dx\, dy = \left(\int_{2}^{6} x \, dx\right)\left(\int_{3}^{4} y \, dy\right).
Calculando cada integral:
\int_{2}^{6} x \, dx = \tfrac{1}{2}(6^2-2^2)=16,
\int_{3}^{4} y \, dy = \tfrac{1}{2}(4^2-3^2)=\tfrac{7}{2}.
Multiplicando: 16\cdot \tfrac{7}{2}=56. É o mesmo resultado, e é uma forma rápida quando você reconhece separabilidade.