Calcule as Integrais simples:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2}(x+2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x+2)\, dy\, dx.
Informações dadas:
  • A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
  • A ordem de integração é primeiro em y (de 0 a 2) e depois em x (de 0 a 1).
  • A função integranda é (x+2), que depende apenas de x, não de y.
  • A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Ideia e propriedade básica que vamos usar (explicadinha e com calma):
Quando integrarmos em y tratando x como constante, podemos usar a propriedade
\int_{a}^{b} c\, dy = c\,(b-a),
onde c é uma constante em relação a y. Aqui, para a integração interna, x é visto como constante, então x+2 é constante em relação a y. Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{2} 3\,dy = 3\cdot(2-0)=6.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{2} (x+2)\, dy.
Como disse, (x+2) é constante em relação a y, então podemos fatorar:
\int_{0}^{2} (x+2)\, dy = (x+2)\int_{0}^{2} dy = (x+2)\cdot(2-0) = 2(x+2).

Passo 4

Agora substituímos na integral externa e obtemos uma integral de uma variável:
\int_{0}^{1} 2(x+2)\, dx.
Usamos a linearidade da integral: \int (af+bg)=a\int f + b\int g. Assim
\int_{0}^{1} 2(x+2)\, dx = 2\int_{0}^{1} (x+2)\, dx = 2\left(\int_{0}^{1} x\, dx + \int_{0}^{1} 2\, dx\right).

Passo 5

Calcule separadamente as integrais de uma variável:
  • Para \int_{0}^{1} x\, dx, a primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{1} x\, dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.
  • Para \int_{0}^{1} 2\, dx, como 2 é constante, é 2\cdot(1-0)=2.

Passo 6

Juntando os resultados:
\int_{0}^{1} (x+2)\, dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} = \dfrac{5}{2}.
Multiplicando pelo fator 2 externo:
2\cdot \dfrac{5}{2} = 5.

Resposta

5

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