A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
A ordem de integração é primeiro em y (de 0 a 2) e depois em x (de 0 a 1).
A função integranda é (x+2), que depende apenas de x, não de y.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Ideia e propriedade básica que vamos usar (explicadinha e com calma):
Quando integrarmos em y tratando x como constante, podemos usar a propriedade
\int_{a}^{b} c\, dy = c\,(b-a),
onde c é uma constante em relação a y. Aqui, para a integração interna, x é visto como constante, então x+2 é constante em relação a y. Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{2} 3\,dy = 3\cdot(2-0)=6.
Passo 3
Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{2} (x+2)\, dy.
Como disse, (x+2) é constante em relação a y, então podemos fatorar:
\int_{0}^{2} (x+2)\, dy = (x+2)\int_{0}^{2} dy = (x+2)\cdot(2-0) = 2(x+2).
Passo 4
Agora substituímos na integral externa e obtemos uma integral de uma variável:
\int_{0}^{1} 2(x+2)\, dx.
Usamos a linearidade da integral: \int (af+bg)=a\int f + b\int g. Assim