Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial de primeira ordem
O que se pede: encontrar a solução geral (ou solução explícita, quando possível). Aqui não há condição inicial, então vamos obter a solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos verificar se a forma diferencial é exata. Lembra-se: uma forma
é exata num domínio quando existe uma função potencial
tal que
. Uma condição prática é checar se
Calculemos as derivadas parciais:
Primeiro,
pois
é constante em relação a
e
; para
tratamos
como constante e
.
Agora,
pois
e
multiplicado por
dá
.
Vimos que
portanto a forma é exata. Isso significa que existe
com
e a solução geral vem da equação implícita
.
Passo 3
Vamos construir
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Integramos termo a termo.
Para o primeiro termo, com
fixo,
pois
é constante em relação a
.
Para o segundo termo,
novamente porque
é tratado como constante ao integrar em
.
Somando os resultados e acrescentando uma função arbitrária de
,
, (pois ao integrar por
podemos perder termos que dependem só de
), obtemos
Passo 4
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculemos
:
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Igualando,
Subtraindo os termos iguais dos dois lados, obtemos
Portanto
é constante:
.
Passo 5
Substituindo
em
e recolhendo a constante no lado direito, a função potencial fica
e a solução geral implícita da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária. Observação: essa é uma forma implícita da solução; tentar isolar
explicitamente em função de
não é possível por manipulação elementar devido à presença de
e
ao mesmo tempo.