Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
7.2\left(e^{x} \operatorname{sen} y-2 y \operatorname{sen} x\right) d x+\left(e^{x} \cos y+2 \cos x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial de primeira ordem
\left(e^{x}\sin y-2y\sin x\right)\,dx+\left(e^{x}\cos y+2\cos x\right)\,dy=0.
O que se pede: encontrar a solução geral (ou solução explícita, quando possível). Aqui não há condição inicial, então vamos obter a solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=e^{x}\sin y-2y\sin x,\qquad N(x,y)=e^{x}\cos y+2\cos x.

Passo 2

Vamos verificar se a forma diferencial é exata. Lembra-se: uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata num domínio quando existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy. Uma condição prática é checar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
Primeiro,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\sin y-2y\sin x\big)=e^{x}\cos y-2\sin x,
pois e^{x} é constante em relação a y e \frac{d}{dy}(\sin y)=\cos y; para -2y\sin x tratamos \sin x como constante e \frac{d}{dy}(-2y)= -2.
Agora,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y+2\cos x\big)=e^{x}\cos y-2\sin x,
pois \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x} e \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x multiplicado por 2 -2\sin x.
Vimos que
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{x}\cos y-2\sin x=\frac{\partial N}{\partial x},
portanto a forma é exata. Isso significa que existe \Psi(x,y) com
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N,
e a solução geral vem da equação implícita \Psi(x,y)=C.

Passo 3

Vamos construir \Psi(x,y) integrando M(x,y) em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(e^{x}\sin y-2y\sin x\big)\,dx.
Integramos termo a termo.
Para o primeiro termo, com y fixo,
\int e^{x}\sin y\,dx=\sin y\int e^{x}\,dx=\sin y\cdot e^{x}=e^{x}\sin y,
pois \sin y é constante em relação a x.
Para o segundo termo,
\int -2y\sin x\,dx=-2y\int \sin x\,dx=-2y(-\cos x)=2y\cos x,
novamente porque y é tratado como constante ao integrar em x.
Somando os resultados e acrescentando uma função arbitrária de y, h(y), (pois ao integrar por x podemos perder termos que dependem só de y), obtemos
\Psi(x,y)=e^{x}\sin y+2y\cos x+h(y).

Passo 4

Agora usamos a condição \partial\Psi/\partial y=N(x,y) para determinar h(y). Calculemos \partial\Psi/\partial y:
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\sin y+2y\cos x+h(y)\big)=e^{x}\cos y+2\cos x+h'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a N(x,y)=e^{x}\cos y+2\cos x. Igualando,
e^{x}\cos y+2\cos x+h'(y)=e^{x}\cos y+2\cos x.
Subtraindo os termos iguais dos dois lados, obtemos
h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante: h(y)=C_0.

Passo 5

Substituindo h(y)=C_0 em \Psi e recolhendo a constante no lado direito, a função potencial fica
\Psi(x,y)=e^{x}\sin y+2y\cos x,
e a solução geral implícita da equação diferencial é
e^{x}\sin y+2y\cos x=C,
onde C é constante arbitrária. Observação: essa é uma forma implícita da solução; tentar isolar y explicitamente em função de x não é possível por manipulação elementar devido à presença de \sin y e y ao mesmo tempo.

Resposta

e^{x}\sin y+2y\cos x=C

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