Calcule
\begin{gathered} I=\iint_{R}\left(2 x-4 y^{2}\right) d A \\\ \text { na regiāo } R=\{(x, y) \mid 0<=\mathrm{x}<=4,1<=\mathrm{y}<=2\} \end{gathered}ā

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
I=\iint_{R}\left(2 x-4 y^{2}\right)\,dA
na região retangular
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\;1\le y\le 2\}.
Informações dadas:
\text{integrando: }2x-4y^{2},\qquad x\in[0,4],\qquad y\in[1,2].
O que se pede: o valor numérico de I.

Passo 2

Como R é um retângulo e a função f(x,y)=2x-4y^{2} é polinomial (logo contínua) em todo o retângulo, podemos usar a propriedade de Fubini: a integral dupla sobre R pode ser escrita como integral iterada. Escolho integrar primeiro em relação a x (porque o integrando é simples em x) e depois em relação a y. Assim escrevemos
I=\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{4}\bigl(2x-4y^{2}\bigr)\,dx\right)dy.
Breve lembrete prático: ao integrar em relação a x tratamos y como constante; ao integrar depois em y usamos a expressão resultante em função de y.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x:
\int_{x=0}^{4}\bigl(2x-4y^{2}\bigr)\,dx.
Usamos antiderivadas de termos polinomiais:
  • A antiderivada de 2x é x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • A antiderivada de -4y^{2} em relação a x é -4y^{2}x, pois y é constante e \dfrac{d}{dx}(-4y^{2}x)=-4y^{2}.
    Portanto
\int_{0}^{4}\bigl(2x-4y^{2}\bigr)\,dx=\Bigl[x^{2}-4y^{2}x\Bigr]_{x=0}^{x=4}.

Passo 4

Avaliaremos a expressão no intervalo x\in[0,4]:
\Bigl[x^{2}-4y^{2}x\Bigr]_{0}^{4}=\bigl(4^{2}-4y^{2}\cdot 4\bigr)-\bigl(0^{2}-4y^{2}\cdot 0\bigr).
Calcule cada termo:
4^{2}=16,\qquad 4y^{2}\cdot 4=16y^{2},
logo a integral interna é
16-16y^{2}.
Assim a integral dupla ficou reduzida à integral unidimensional
I=\int_{1}^{2}\bigl(16-16y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora integramos em y. Novamente usamos antiderivadas:
  • A antiderivada de 16 é 16y.
  • A antiderivada de -16y^{2} é -16\cdot \dfrac{y^{3}}{3}=-\dfrac{16}{3}y^{3}, porque \dfrac{d}{dy}\bigl(\dfrac{y^{3}}{3}\bigr)=y^{2}.
    Portanto
\int_{1}^{2}\bigl(16-16y^{2}\bigr)\,dy=\Bigl[16y-\dfrac{16}{3}y^{3}\Bigr]_{y=1}^{y=2}.

Passo 6

Avalie a antiderivada nos limites y=1 e y=2.
Para y=2:
16\cdot 2-\dfrac{16}{3}\cdot 2^{3}=32-\dfrac{16}{3}\cdot 8=32-\dfrac{128}{3}.
Colocando em denominador comum:
32=\dfrac{96}{3},\qquad \dfrac{96}{3}-\dfrac{128}{3}=-\dfrac{32}{3}.
Para y=1:
16\cdot 1-\dfrac{16}{3}\cdot 1^{3}=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{48}{3}-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1):
I=-\dfrac{32}{3}-\dfrac{32}{3}=-\dfrac{64}{3}.

Resposta

-\dfrac{64}{3}

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