Calcule
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
na região retangular
Informações dadas:
O que se pede: o valor numérico de
.
Passo 2
Como
é um retângulo e a função
é polinomial (logo contínua) em todo o retângulo, podemos usar a propriedade de Fubini: a integral dupla sobre
pode ser escrita como integral iterada. Escolho integrar primeiro em relação a
(porque o integrando é simples em
) e depois em relação a
. Assim escrevemos
Breve lembrete prático: ao integrar em relação a
tratamos
como constante; ao integrar depois em
usamos a expressão resultante em função de
.
Passo 3
Calculemos a integral interna em
:
Usamos antiderivadas de termos polinomiais:
- A antiderivada de
é , porque . - A antiderivada de
em relação a é , pois é constante e .
Portanto
Passo 4
Avaliaremos a expressão no intervalo
:
Calcule cada termo:
logo a integral interna é
Assim a integral dupla ficou reduzida à integral unidimensional
Passo 5
Agora integramos em
. Novamente usamos antiderivadas:
- A antiderivada de
é . - A antiderivada de
é , porque .
Portanto
Passo 6
Avalie a antiderivada nos limites
e
.
Para
:
Colocando em denominador comum:
Para
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):