Dada a integral dupla
I=integralD f d A=integral-2^1 integralx^2^2-x f(x, y) d y d x
calcule o valor de I para f(x, y)=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla I=integral duplaD f,dA sobre a região D delimitada por -2<= x<=1 e x^2<= y<=2-x, com f(x,y)=1. O conteúdo é cálculo de área de uma região via integrais.

Passo 2

Como f(x,y)=1, temos
I=integralx=-2^1integraly=x^2^2-x1,dy,dx
ou seja, a área de D.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
integraly=x^2^2-x1,dy=(2-x)-x^2
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I=integral-2^1l(2-x-x^2r),dx .

Passo 4

Agora integramos em x:
integral(2-x-x^2),dx=2x-x^22-x^33
e avaliamos de x=-2 a x=1.

Passo 5

Avaliação nos limites:
o valor em x=1 é 2(1)-tfrac1^22-tfrac1^33=7/6 e em x=-2 é 2(-2)-tfrac(-2)^22-tfrac(-2)^33=-10/3. A diferença é
7/6-(-10/3)=7/6+20/6=27/6=9/2 .

Resposta

I=\frac{9}{2}

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