O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) em um domínio sólido G é definido por
fm=1V(G) integral triplaG f(x, y, z) d V
onde V(G) é o volume do sólido. Escreva a integral que calcula o valor médio de f(x, y, z)=x y z na região esférica x^2+y^2+z^2 <= 1
obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio r é igual a 43 pi r^3
Sendo G a esfera de centro na origem e raio 1, V(G)=43 pi. A região do sólido G em coordenadas esféricas é
G=(rho, theta, phi)|ldots <= rho <= ldots ; ldots <= theta <= ldots ; ldots <= phi <= ldots
Assim
fm=-integral-integral-

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ dentro de uma esfera de raio 1. Isso faz parte de cálculo multivariável, especialmente quando trabalhamos com integrais múltiplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar usar a definição do valor médio de uma função em um volume e configurar a integral tripla na região esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do valor médio de uma função $ f $ em um volume $ G $:
f
Aqui, $ V(G) $ é o volume da região $ G $. No nosso caso, $ G $ é a esfera de raio 1, então $ V(G) = \frac{4}{3}\pi $.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para configurar a integral. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
E o elemento de volume se transforma em:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, para uma esfera de raio 1, os limites das coordenadas são:
0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= phi <= pi

Passo 4

Agora, vamos substituir $ f(x, y, z) = xyz $ nas coordenadas esféricas:
f(x, y, z) = xyz
Então, a integral para o valor médio fica:
xyz = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta)(rho cosphi) = rho^3 sin^2phi costheta sintheta cosphi

Passo 5

Vamos analisar a integral. Note que $ \cos\theta \sin\theta $ é uma função ímpar em relação a $ \theta $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado é zero. Portanto, toda a integral será zero.

Resposta

O valor médio de $ f(x, y, z) = xyz $ na região esférica $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ é zero.

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