O valor médio de uma função contínua
em um domínio sólido
é definido por
onde
é o volume do sólido. Escreva a integral que calcula o valor médio de
na região esférica
obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio
é igual a
Sendo
a esfera de centro na origem e raio
. A região do sólido
em coordenadas esféricas é
Assim
obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ dentro de uma esfera de raio 1. Isso faz parte de cálculo multivariável, especialmente quando trabalhamos com integrais múltiplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar usar a definição do valor médio de uma função em um volume e configurar a integral tripla na região esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do valor médio de uma função $ f $ em um volume $ G $:
Aqui, $ V(G) $ é o volume da região $ G $. No nosso caso, $ G $ é a esfera de raio 1, então $ V(G) = \frac{4}{3}\pi $.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para configurar a integral. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em:
Além disso, para uma esfera de raio 1, os limites das coordenadas são:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ f(x, y, z) = xyz $ nas coordenadas esféricas:
Então, a integral para o valor médio fica:
Passo 5
Vamos analisar a integral. Note que $ \cos\theta \sin\theta $ é uma função ímpar em relação a $ \theta $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado é zero. Portanto, toda a integral será zero.
Resposta
O valor médio de $ f(x, y, z) = xyz $ na região esférica $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ é zero.