Dada a integral dupla
I=integralD f d A=integral-2^1 integralx^2^2-x f(x, y) d y d x
Esboce a região D.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que integra a função $ f(x, y) $ sobre uma região $ D $. A expressão da integral é:
f(x, y)
Então, o conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e o que precisamos fazer é esboçar a região $ D $ onde essa integração acontece. Pra isso, vamos analisar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites externos da integral, que são os valores de $ x $. A integral de $ x $ vai de -2 até 1. Isso significa que nossa região $ D $ vai se estender horizontalmente desde $ x = -2 $ até $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, para cada valor de $ x $ nesse intervalo, o $ y $ varia de $ x^2 $ até $ 2 - x $. Vamos entender o que isso significa graficamente.
A função $ y = x^2 $ é uma parábola que abre para cima, e $ y = 2 - x $ é uma reta decrescente.

Passo 4

Para esboçar a região $ D $, precisamos saber onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x $. Vamos resolver a equação:
D
Rearranjando:
y = x^2
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as soluções $ x = 1 $ e $ x = -2 $. Então, as curvas se interceptam nos pontos $ (-2, 4) $ e $ (1, 1) $.

Passo 5

Com esses pontos de interseção, podemos agora desenhar as curvas no plano $ xy $:
  • A parábola $ y = x^2 $ passa por $ (-2, 4) $ e $ (1, 1) $.
  • A reta $ y = 2 - x $ também passa por esses pontos.

Passo 6

A região $ D $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ onde $ x $ vai de -2 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ está entre $ x^2 $ e $ 2 - x $. Graficamente, isso significa que a região está entre a parábola e a reta, desde $ x = -2 $ até $ x = 1 $.

Resposta

A região $ D $ é delimitada pela parábola $ y = x^2 $ e pela reta $ y = 2 - x $, estendendo-se horizontalmente de $ x = -2 $ até $ x = 1 $. No gráfico, $ D $ fica entre essas duas curvas nesse intervalo de $ x $.

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