Dada a integral dupla
Esboce a região
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que integra a função $ f(x, y) $ sobre uma região $ D $. A expressão da integral é:
Então, o conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e o que precisamos fazer é esboçar a região $ D $ onde essa integração acontece. Pra isso, vamos analisar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites externos da integral, que são os valores de $ x $. A integral de $ x $ vai de -2 até 1. Isso significa que nossa região $ D $ vai se estender horizontalmente desde $ x = -2 $ até $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, para cada valor de $ x $ nesse intervalo, o $ y $ varia de $ x^2 $ até $ 2 - x $. Vamos entender o que isso significa graficamente.
A função $ y = x^2 $ é uma parábola que abre para cima, e $ y = 2 - x $ é uma reta decrescente.
Passo 4
Para esboçar a região $ D $, precisamos saber onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x $. Vamos resolver a equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as soluções $ x = 1 $ e $ x = -2 $. Então, as curvas se interceptam nos pontos $ (-2, 4) $ e $ (1, 1) $.
Passo 5
Com esses pontos de interseção, podemos agora desenhar as curvas no plano $ xy $:
- A parábola $ y = x^2 $ passa por $ (-2, 4) $ e $ (1, 1) $.
- A reta $ y = 2 - x $ também passa por esses pontos.
Passo 6
A região $ D $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ onde $ x $ vai de -2 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ está entre $ x^2 $ e $ 2 - x $. Graficamente, isso significa que a região está entre a parábola e a reta, desde $ x = -2 $ até $ x = 1 $.
Resposta
A região $ D $ é delimitada pela parábola $ y = x^2 $ e pela reta $ y = 2 - x $, estendendo-se horizontalmente de $ x = -2 $ até $ x = 1 $. No gráfico, $ D $ fica entre essas duas curvas nesse intervalo de $ x $.