Seja a integral
Observando os limites de integração na expressão da integral e a ordem
, temos que a região
de integração, em coordenadas retangulares, é
que é o semicirculo superior de centro na origem e raio 1 .
Em coordenadas polares, esta região é escrita como
e temos
Em coordenadas polares, esta região é escrita como
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região $ D $, que é meio círculo de raio 1, mais especificamente a parte de cima. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando a região tem formato circular. Então, vamos precisar das fórmulas de coordenadas polares e das regras de integração nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar a função $ (x^2 + y2){\frac{3}{2}} $ para coordenadas polares. Sabemos que em polares temos:
Então, $ x^2 + y^2 = r^2 $. Substituindo isso na função, fica:
Passo 3
Agora, lembre-se que na mudança para coordenadas polares, o diferencial de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $. Então, nossa integral original:
se transforma em:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $. Como $ r^4 $ não depende de $ \theta $, a integral fica bem mais fácil:
Então, nossa integral agora é:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a $ r $:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{\pi}{5} $.