Seja a integral
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^32 d y d x
Observando os limites de integração na expressão da integral e a ordem d y d x, temos que a região D de integração, em coordenadas retangulares, é
D=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= raiz1-x^2
que é o semicirculo superior de centro na origem e raio 1 .
Em coordenadas polares, esta região é escrita como
D=(r, theta) mid 0 <= r <= 1,0 <= theta <= pi
e temos
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^32 d y d x=integral0^1 integral0^pi(r^2)^32 r d theta d r= (resu

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região $ D $, que é meio círculo de raio 1, mais especificamente a parte de cima. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando a região tem formato circular. Então, vamos precisar das fórmulas de coordenadas polares e das regras de integração nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar a função $ (x^2 + y2){\frac{3}{2}} $ para coordenadas polares. Sabemos que em polares temos:
(x^2 + y^2)^32
x = r cos theta
Então, $ x^2 + y^2 = r^2 $. Substituindo isso na função, fica:
y = r sin theta

Passo 3

Agora, lembre-se que na mudança para coordenadas polares, o diferencial de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $. Então, nossa integral original:
dx , dy
se transforma em:
r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $. Como $ r^4 $ não depende de $ \theta $, a integral fica bem mais fácil:
theta
Então, nossa integral agora é:
r^4

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a $ r $:
r

Resposta

O valor da integral é $ \frac{\pi}{5} $.

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