Seja a função f: R^2 R definida por
A função f(x, y)=ll 2 y^32 x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0) é diferenciável em f(x, y)? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a função f:R^2toR, definida por
f(x,y)= dfrac2y^32x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo usado será derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade via aproximante linear e resto de ordem pequena.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). Pela definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Mas f(h,0)=tfrac2cdot0^32h^2+0=0, logo
partial fpartial x(0,0)=limhto00-0h=0
De forma análoga,
f(0,h)=2h^3h^2=2h
e
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-0h=limhto02hh=2

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), o aproximante linear seria
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y=0+0cdot x+2,y=2y

Passo 4

Vamos analisar o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=2y^32x^2+y^2-2y
Fazendo a subtração em um só quociente obtemos
R(x,y)=2yl(y^22x^2+y^2-1r)=2ycdot-2x^22x^2+y^2=-4x^2y2x^2+y^2

Passo 5

Para ser diferenciável, precisamos de
lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0
Mas se tomarmos o caminho y=mx, temos
R(x,mx)=-4x^2,(mx)2x^2+(mx)^2=-4m,x^3(2+m^2)x^2=-4m2+m^2x
e
R(x,mx)raizx^2+(mx)^2=-4m2+m^2,x|x|raiz1+m^2=-4m(2+m^2)raiz1+m^2x|x|
À medida que xto0, esse quociente tende a constante não nula (para mneq0), logo o resto não é de ordem inferior a raizx^2+y^2.

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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