O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) em um domínio sólido G é definido por
fm=1V(G) integral triplaG f(x, y, z) d V
onde V(G) é o volume do sólido.
Escreva a integral que calcula o valor médio de f(x, y, z)=x y z na região esférica x^2+y^2+z^2 <= 1.
Obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio r é igual a 43 pi r^3. Sendo G a esfera de centro na origem e raio 1 , temos V(G)=43 pi.
A região do sólido G em coordenadas esféricas é
G=(rho, theta, phi) mid 0 <= rho <= 1,0 <= theta <= 2 pi, 0 <= phi <= pi
Assim,
fm=1V(G) integral0^2 pi integral0^pi integral0^1 x y z rho^2 sin phi d rho d phi d theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor médio de f(x,y,z)=xyz na esfera unitária G:;x^2+y^2+z^2<=1. O conteúdo é valor médio de função em domínio sólido e vamos usar coordenadas esféricas para reescrever a integral tripla.

Passo 2

A definição do valor médio é fm=1V(G)integral triplaG f(x,y,z),dV. Como G é a esfera de raio 1, V(G)=tfrac43pi. Em coordenadas esféricas temos as variáveis (rho,theta,phi) com 0<=rho<=1,;0<=theta<=2pi,;0<=phi<=pi.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, as relações são
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 4

Substituindo x,y,z e dV na fórmula de fm, obtemos a integral:
fm=1tfrac43piintegral0^2piintegral0^piintegral0^1(rhosinphicostheta)(rhosinphisintheta)(rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Resposta

fm=34piintegral0^2piintegral0^piintegral0^1(rhosinphicostheta)(rhosinphisintheta)(rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

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