O valor médio de uma função contínua
em um domínio sólido
é definido por
onde
é o volume do sólido.
Escreva a integral que calcula o valor médio de
na região esférica
.
Obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio
é igual a
. Sendo
a esfera de centro na origem e raio 1 , temos
.
A região do sólido
em coordenadas esféricas é
Assim,
Escreva a integral que calcula o valor médio de
Obs.: o volume de uma esfera de centro na origem e raio
A região do sólido
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor médio de
na esfera unitária
. O conteúdo é valor médio de função em domínio sólido e vamos usar coordenadas esféricas para reescrever a integral tripla.
Passo 2
A definição do valor médio é
. Como
é a esfera de raio 1,
. Em coordenadas esféricas temos as variáveis
com
.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, as relações são
e o elemento de volume é
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de
, obtemos a integral: