Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=1+sen xcos x, (pi,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = 1+sin xcos x
no ponto (pi,-1). Vamos usar derivadas de funções trigonométricas, aplicando a regra do quociente e identidades trigonométricas.

Passo 2

Para achar y'=dydx, use a regra do quociente: se y=uv, então
dydx = u'v - uv'v^2
Aqui u=1+sin x e v=cos x, logo
u'=cos x, v'=-sin x
Substituindo,
dydx = cos xcos x - (1+sin x)(-sin x)cos^2 x = cos^2 x + (1+sin x)sin xcos^2 x
Como cos^2 x+sin^2 x=1, o numerador fica
cos^2 x+sin^2 x+sin x = 1+sin x,
portanto
dydx = 1+sin xcos^2 x

Passo 3

Avalie a derivada em x=pi. Como sinpi=0 e cospi=-1,
m = y'(pi) = 1+0(-1)^2 = 1

Passo 4

A equação da reta tangente com coeficiente angular m=1 passando por (x0,y0)=(pi,-1) é
y - (-1) = 1,(x - pi),
ou seja
y + 1 = x - pi Longrightarrow y = x - pi - 1

Resposta

A reta tangente é
boxedy = x - pi - 1

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