4^{\underline{a}} Questão: Se f(x)=\frac{e^{x}}{g(x)}, com g(0)=2 e g^{\prime}(0)=5, calcule f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{e^{x}}{g(x)} e informa os valores
g(0)=2,\qquad g^{\prime}(0)=5.
A pergunta é: calcular f^{\prime}(0). Ou seja, encontrar a derivada de f e avaliar essa derivada no ponto x=0.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar. Se uma função f é dada como quociente de duas funções u(x) e v(x),
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então a derivada f'(x) é dada pela regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Aqui cada termo significa:
  • u(x) é o numerador da função original;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Também precisamos lembrar que a derivada de e^{x} é e^{x}, isto é, \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 3

Identificamos u(x)=e^{x} e v(x)=g(x). Então
u'(x)=e^{x},\qquad v'(x)=g'(x).
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{e^{x}\,g(x)-e^{x}\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.
Fatorando e^{x} no numerador fica mais simples:
f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(g(x)-g'(x)\bigr)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=0. Substituindo x=0 e usando os dados do enunciado:
f'(0)=\frac{e^{0}\bigl(g(0)-g'(0)\bigr)}{\bigl(g(0)\bigr)^{2}}.
Sabendo que e^{0}=1, g(0)=2 e g'(0)=5, temos
f'(0)=\frac{1\cdot(2-5)}{(2)^{2}}=\frac{-3}{4}.

Passo 5

Observação final: é importante que g(0)\neq 0 (aqui g(0)=2), pois se g(0)=0 o quociente e a aplicação direta da regra do quociente seriam inválidos. Bom trabalho — já resolveu a questão e aprendeu a aplicar a regra do quociente com e^{x}!

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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