Dada la función f(x, y)=2 x^2-3 y^2-2 x.
Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (-1,2)

Passo 1

El enunciado pide hallar la ecuación del plano tangente a la superficie definida por z=f(x,y)=2x^2-3y^2-2x en el punto (x0,y0)=(-1,2). El tema es derivadas parciales y plano tangente a una gráfica de dos variables.

Passo 2

Recordemos que la fórmula del plano tangente a la gráfica de z=f(x,y) en (x0,y0) es:
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)

Passo 3

Calculemos las derivadas parciales de f(x,y)=2x^2-3y^2-2x:
fx(x,y)=partialpartial x(2x^2-3y^2-2x)=4x-2,
fy(x,y)=partialpartial y(2x^2-3y^2-2x)=-6y

Passo 4

Ahora evaluamos en (x0,y0)=(-1,2):
fx(-1,2)=4(-1)-2=-6,
fy(-1,2)=-6cdot2=-12,
f(-1,2)=2(-1)^2-3(2)^2-2(-1)=2-12+2=-8

Passo 5

Sustituimos en la fórmula del plano tangente:
z-(-8)=(-6)(x-(-1))+(-12)(y-2),

Passo 6

y simplificamos:
z+8=-6(x+1)-12(y-2)=-6x-6-12y+24=-6x-12y+18,
por lo que
z=-6x-12y+18-8=-6x-12y+10

Resposta

z = -6x - 12y + 10

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