Hallar integral duplaR(x^2-y) d A con R la región comprendida entre las gráficas de las parábolas y=x^2, y=-x^2, y las rectas x=-1 y x=1

Passo 1

A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR(x^2 - y),dA, onde R é a região limitada pelas parábolas y = x^2 e y = -x^2 e pelas retas x = -1 e x = 1. O conteúdo aqui é integração dupla e teorema de Fubini, então vamos transformar isso numa integral iterada.

Passo 2

Para aplicar o teorema de Fubini, note que para cada x entre -1 e 1, y varia de -x^2 até x^2. Assim podemos escrever:
integral duplaR(x^2 - y),dA = integralx=-1^1 l( integraly=-x^2^x^2 (x^2 - y),dy r) dx
Agora vamos calcular a integral interna em y. Temos
integraly=-x^2^x^2 (x^2 - y),dy = l[x^2 y - tfracy^22r]y=-x^2^y=x^2
Substituindo os limites,
= l(x^2cdot x^2 - tfrac(x^2)^22r) - l(x^2cdot(-x^2) - tfrac(-x^2)^22r) = l(x^4 - tfracx^42r) - l(-x^4 - tfracx^42r) = 2x^4
Então a integral vira
integral-1^1 2x^4,dx = 2 integral-1^1 x^4,dx
Como x^4 é função par,
integral-1^1 x^4,dx = 2 integral0^1 x^4,dx = 2 cdot tfracx^55|0^1 = tfrac25
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2 cdot tfrac25 = tfrac45

Passo 3

Chegamos ao valor da integral dupla igual a tfrac45.

Resposta

\tfrac{4}{5}

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