Dada uma lâmina bimetálica de comprimento L e espessura desprezível é formada por Ferro e Cobre. Ambas estão à temperatura ambiente \mathrm{T}=20^{\circ} \mathrm{C}.
Calcule a variação relativa percentual no aumento/diminuição do comprimento da lâmina ( \mathrm{Fe}+\mathrm{Cu} ) ao: aumentar a temperatura em 30 \% em relação à temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina bimetálica de comprimento L formada por Ferro e Cobre, ambas à temperatura ambiente \mathrm{T}=20^\circ\mathrm{C}. Pede-se a variação relativa percentual do comprimento da lâmina (\mathrm{Fe}+\mathrm{Cu}) quando a temperatura é aumentada em 30\% em relação à temperatura ambiente.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temperatura inicial: \mathrm{T}_0 = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Aumento de temperatura pedido: 30\% de \mathrm{T}_0.
  • A lâmina é formada por Ferro e Cobre; não vem dada a geometria exata (comprimentos relativos de cada metal).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula rápida e concreta): linearmente, o aumento de comprimento de um corpo homogêneo quando sua temperatura varia é dado pela lei da dilatação linear:
\Delta L = \alpha \, L \, \Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (m);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (em /^\circ\mathrm{C} ou / \mathrm{K});
  • L é o comprimento inicial (m);
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K).
Observações úteis:
  • A variação térmica \Delta T em graus Celsius é numericamente igual à variação em Kelvin, então podemos usar ^\circ\mathrm{C} sem converter para Kelvin.
  • Valores típicos dos coeficientes (valores usuais de tabela, arredondados):
    \alpha_{\mathrm{Fe}} \approx 11\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e \alpha_{\mathrm{Cu}} \approx 16{,}5\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    Vou usar esses valores a seguir.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura pedida. A instrução “aumentar a temperatura em 30\% em relação à temperatura ambiente” significa:
\Delta T = 0{,}30 \times \mathrm{T}_0 = 0{,}30 \times 20^\circ\mathrm{C} = 6^\circ\mathrm{C}.
Portanto a lâmina é aquecida de 20^\circ\mathrm{C} para 26^\circ\mathrm{C}, logo \Delta T = 6^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Escolha do modelo geométrico (explicação e justificativa): o enunciado não diz se Ferro e Cobre ocupam cada um metade do comprimento, se estão em camadas sobrepostas, etc. A interpretação mais direta e simples — e frequentemente usada em exercícios introdutórios — é considerar a lâmina composta por dois trechos em série ao longo do comprimento total L: um trecho de Ferro e um de Cobre, e assumir que cada trecho tem comprimento igual (ou seja, L_{\mathrm{Fe}}=L_{\mathrm{Cu}}=L/2). Essa suposição é razoável para obter uma resposta única e simples; se o problema exigisse outra geometria isso teria sido especificado. Vou, portanto, assumir comprimentos iguais para os dois metais.
Sob essa hipótese, o comprimento total inicial é
L = L_{\mathrm{Fe}} + L_{\mathrm{Cu}} = \frac{L}{2} + \frac{L}{2}.
A variação total do comprimento é a soma das variações dos dois trechos:
\Delta L_{\text{total}} = \Delta L_{\mathrm{Fe}} + \Delta L_{\mathrm{Cu}} = \alpha_{\mathrm{Fe}} L_{\mathrm{Fe}} \Delta T + \alpha_{\mathrm{Cu}} L_{\mathrm{Cu}} \Delta T.

Passo 5

Calcular a variação relativa \dfrac{\Delta L_{\text{total}}}{L} com L_{\mathrm{Fe}}=L_{\mathrm{Cu}}=\dfrac{L}{2}. Substituindo:
\frac{\Delta L_{\text{total}}}{L} = \frac{\alpha_{\mathrm{Fe}} \, \frac{L}{2}\,\Delta T + \alpha_{\mathrm{Cu}} \, \frac{L}{2}\,\Delta T}{L} = \frac{\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Cu}}}{2}\,\Delta T.
Agora substituímos os valores numéricos:
\alpha_{\mathrm{Fe}} = 11\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, \qquad \alpha_{\mathrm{Cu}} = 16{,}5\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, \qquad \Delta T = 6^\circ\mathrm{C}.
Primeiro a média dos coeficientes:
\frac{\alpha_{\mathrm{Fe}}+\alpha_{\mathrm{Cu}}}{2} = \frac{11\times 10^{-6} + 16{,}5\times 10^{-6}}{2} = 13{,}75\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Multiplicando por \Delta T:
\frac{\Delta L_{\text{total}}}{L} = 13{,}75\times 10^{-6}\times 6 = 82{,}5\times 10^{-6} = 8{,}25\times 10^{-5}.

Passo 6

Converter a variação relativa em percentual: para passar de fração para porcentagem multiplicamos por 100:
\left(\frac{\Delta L_{\text{total}}}{L}\right)_\text{\%} = 8{,}25\times 10^{-5}\times 100 = 8{,}25\times 10^{-3}\,\%.
Em notação decimal com vírgula (mais comum em enunciados em português):
0{,}00825\% .
O sinal é positivo, portanto há um aumento do comprimento (não uma diminuição).

Resposta

0,00825\% (aumento)

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