Dado o campo \mathbf{H}=20 \rho^{2} \mathbf{a}_{\varphi} \mathbf{A} / \mathbf{m} : (a) Determine a densidade de corrente J. (b) Integre J sobre a superficie circular \rho \leq 1,0<\varphi<2 \pi, z=0, para determinar a corrente total que passa pela superficie na direção \mathbf{a}_{z}. (c) Calcule a corrente total mais uma vez, desta vez por uma integral de linha em volta do caminho circular \rho=1,0<\varphi<2 \pi, z=0.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético (campo \mathbf{H}) e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dado:
\mathbf{H}=20\,\rho^{2}\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{ (unidades: A/m)}
onde \rho,\varphi,z são coordenadas cilíndricas e \mathbf{a}_{\varphi} é o versor na direção azimutal.
Perguntas:
  1. (a) Determine a densidade de corrente \mathbf{J} correspondente a esse \mathbf{H}.
  2. (b) Calcule a corrente total através da superfície circular definida por 0\le \rho\le 1,\;0<\varphi<2\pi,\;z=0, tomando como orientação a direção \mathbf{a}_z.
  3. (c) Calcule a mesma corrente total fazendo uma integral de linha ao longo do contorno circular \rho=1,\;0<\varphi<2\pi,\;z=0.

Passo 2

Princípio físico / fórmula que usaremos (explicado passo a passo):
  • Em magnetostática (regime estacionário), a forma diferencial da Lei de Ampère relaciona o rotacional de \mathbf{H} com a densidade de corrente elétrica livre \mathbf{J}:
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
Aqui \nabla\times\mathbf{H} é o rotacional de \mathbf{H}, uma operação vetorial que mede como \mathbf{H} “gira” localmente. O resultado é um campo vetorial com as mesmas unidades de \mathbf{J} (A/m ^2).
  • Para facilitar o cálculo, usamos a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Se
\mathbf{H}=H_{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}+H_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi}+H_{z}\,\mathbf{a}_{z},
então os componentes do rotacional são:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial \rho},
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho H_{\varphi}\big)-\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{\rho}}{\partial\varphi}.
Explicando as variáveis: \rho é a coordenada radial no plano, \varphi o ângulo azimutal, z o eixo axial; H_{\rho},H_{\varphi},H_{z} são as componentes de \mathbf{H} nessas direções.
  • Também usaremos a forma integral de Ampère, que relaciona a circulação de \mathbf{H} ao redor de um caminho fechado ao total de corrente atravessando uma superfície limitada por esse caminho:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde d\mathbf{l} é elemento de linha e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície cuja borda é \mathcal{C}.

Passo 3

Calcular \mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H} para o campo dado.
Temos H_{\rho}=0,\;H_{\varphi}=20\rho^{2},\;H_{z}=0. Vamos calcular cada componente do rotacional pelo fórmulas do passo anterior.
  1. Componente radial (\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial z}.
Mas H_{z}=0 e H_{\varphi} não depende de z, então ambos os termos são zero. Logo
(\nabla\times\mathbf{H})_{\rho}=0.
  1. Componente azimutal (\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial\rho}.
Como H_{\rho}=0 e H_{z}=0, ambos os termos são zero, então
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=0.
  1. Componente axial (\nabla\times\mathbf{H})_{z}:
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho H_{\varphi}\big)-\frac{1}{\rho}\frac{\partial H_{\rho}}{\partial\varphi}.
Como H_{\rho}=0, o segundo termo é zero. Calculamos o primeiro termo: \rho H_{\varphi}=\rho\cdot 20\rho^{2}=20\rho^{3}. A derivada em relação a \rho é
\frac{d}{d\rho}\big(20\rho^{3}\big)=60\rho^{2}.
Dividindo por \rho obtemos
(\nabla\times\mathbf{H})_{z}=\frac{60\rho^{2}}{\rho}=60\rho.
Portanto o rotacional é
\nabla\times\mathbf{H}=0\,\mathbf{a}_{\rho}+0\,\mathbf{a}_{\varphi}+60\rho\,\mathbf{a}_{z}.
Usando \mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H}, concluímos
\mathbf{J}=60\rho\,\mathbf{a}_{z}\quad\text{(unidades: A/m}^2\text{).}

Passo 4

Calcular a corrente total através da superfície circular por integração de \mathbf{J} (método da superfície).
A corrente que atravessa a superfície com normal \mathbf{a}_z é
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z\,dS.
Aqui \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z=60\rho. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área da superfície plana z=0 é dS=\rho\,d\rho\,d\varphi. Então o integrando é 60\rho\cdot \rho\,d\rho\,d\varphi=60\rho^{2}\,d\rho\,d\varphi.
Montando a integral sobre 0\le \rho\le 1 e 0\le \varphi\le 2\pi:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}60\rho^{2}\,d\rho\,d\varphi.
Calcule a integral em \rho:
\int_{0}^{1}60\rho^{2}\,d\rho = 60\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=60\cdot\frac{1}{3}=20.
Agora integramos em \varphi:
I= \int_{0}^{2\pi}20\,d\varphi = 20\cdot 2\pi = 40\pi.
Portanto a corrente total atravessando a superfície no sentido \mathbf{a}_z é 40\pi ampères.

Passo 5

Calcular a corrente total pelo método da integral de linha (Lei integral de Ampère), para checar consistência.
A Lei integral de Ampère diz que a circulação de \mathbf{H} em torno da curva fechada \mathcal{C} é igual à corrente total atravessando qualquer superfície cujo contorno seja \mathcal{C}:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}.
Aqui escolhemos \mathcal{C} como o contorno do disco: círculo de raio \rho=1 em z=0, com \varphi variando de 0 a 2\pi. No contorno temos \mathbf{H}=20\rho^{2}\mathbf{a}_{\varphi} com \rho=1, então
\mathbf{H}=20\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{no contorno}.
O elemento de linha ao longo do círculo é d\mathbf{l}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}. Com \rho=1, temos d\mathbf{l}=1\cdot d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}=d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
O produto escalar é \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=20\,\mathbf{a}_{\varphi}\cdot(d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi})=20\,d\varphi.
Integrando:
I_{\text{enc}}=\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{0}^{2\pi}20\,d\varphi=20\cdot 2\pi=40\pi.
Resultado coincide com a integral de superfície, como deve acontecer.

Resposta

(a) \mathbf{J}=60\,\rho\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}
(b) I=40\pi\\ \text{A}
(c) I=40\pi\\ \text{A}

Exercícios relacionados