Dado o campo
: (a) Determine a densidade de corrente J. (b) Integre J sobre a superficie circular
, para determinar a corrente total que passa pela superficie na direção
. (c) Calcule a corrente total mais uma vez, desta vez por uma integral de linha em volta do caminho circular
.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético (campo
) e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dado:
onde
são coordenadas cilíndricas e
é o versor na direção azimutal.
Perguntas:
- (a) Determine a densidade de corrente
correspondente a esse . - (b) Calcule a corrente total através da superfície circular definida por
, tomando como orientação a direção . - (c) Calcule a mesma corrente total fazendo uma integral de linha ao longo do contorno circular
.
Passo 2
Princípio físico / fórmula que usaremos (explicado passo a passo):
- Em magnetostática (regime estacionário), a forma diferencial da Lei de Ampère relaciona o rotacional de
com a densidade de corrente elétrica livre :
Aqui
é o rotacional de
, uma operação vetorial que mede como
“gira” localmente. O resultado é um campo vetorial com as mesmas unidades de
(A/m
).
- Para facilitar o cálculo, usamos a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Se
então os componentes do rotacional são:
Explicando as variáveis:
é a coordenada radial no plano,
o ângulo azimutal,
o eixo axial;
são as componentes de
nessas direções.
- Também usaremos a forma integral de Ampère, que relaciona a circulação de
ao redor de um caminho fechado ao total de corrente atravessando uma superfície limitada por esse caminho:
onde
é elemento de linha e
é a corrente total atravessando a superfície cuja borda é
.
Passo 3
Calcular
para o campo dado.
Temos
. Vamos calcular cada componente do rotacional pelo fórmulas do passo anterior.
- Componente radial
:
Mas
e
não depende de
, então ambos os termos são zero. Logo
- Componente azimutal
:
Como
e
, ambos os termos são zero, então
- Componente axial
:
Como
, o segundo termo é zero. Calculamos o primeiro termo:
. A derivada em relação a
é
Dividindo por
obtemos
Portanto o rotacional é
Usando
, concluímos
Passo 4
Calcular a corrente total através da superfície circular por integração de
(método da superfície).
A corrente que atravessa a superfície com normal
é
Aqui
. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área da superfície plana
é
. Então o integrando é
.
Montando a integral sobre
e
:
Calcule a integral em
:
Agora integramos em
:
Portanto a corrente total atravessando a superfície no sentido
é
ampères.
Passo 5
Calcular a corrente total pelo método da integral de linha (Lei integral de Ampère), para checar consistência.
A Lei integral de Ampère diz que a circulação de
em torno da curva fechada
é igual à corrente total atravessando qualquer superfície cujo contorno seja
:
Aqui escolhemos
como o contorno do disco: círculo de raio
em
, com
variando de
a
. No contorno temos
com
, então
O elemento de linha ao longo do círculo é
. Com
, temos
.
O produto escalar é
.
Integrando:
Resultado coincide com a integral de superfície, como deve acontecer.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)