34.14 Para um espelho esférico convexo que possui uma distância focal
, a qual distância do vértice do espelho um objeto estará se a altura da imagem for metade da altura do objeto?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a que distância do vértice do espelho está o objeto quando a altura da imagem é metade da altura do objeto.
Informações dadas:
- A distância focal do espelho é
. - A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto é
(a imagem tem metade da altura do objeto).
Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Definimos as grandezas que vamos usar (explicando cada uma):
-
é a distância focal do espelho; para espelhos convexos ela é negativa (por convenio de sinais). -
é a distância do objeto ao vértice do espelho (para um objeto real, ela é positiva). -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (para imagens virtuais formadas por espelhos convexos, é negativa). -
é a altura do objeto. -
é a altura da imagem. - A ampliação (ou magnificação) é
. Aqui explico por que: a relação entre alturas e distâncias para espelhos segue essa fórmula; o sinal negativo aparece porque uma imagem invertida corresponde a ampliação negativa, e uma imagem direita corresponde a ampliação positiva.
Também usamos a equação dos espelhos esféricos:
Essa equação relaciona focal, objeto e imagem.
Passo 3
Usamos a informação da razão das alturas. Como
, temos a ampliação
Pela fórmula da ampliação
temos
Passo 4
Isolamos
em função de
a partir da equação anterior:
Observe: isso dá
negativo (como esperado para imagem virtual de um espelho convexo) quando
for positivo.
Passo 5
Substituímos
na equação dos espelhos:
Calculamos o segundo termo:
Então
Passo 6
Da igualdade
obtemos
Isto é uma conclusão geral para este problema: a distância do objeto será o oposto da distância focal.
Passo 7
Agora substituímos o valor numérico dado de
:
Interpretação física:
(positiva) significa que o objeto está a
na frente do vértice do espelho, o que faz sentido para um objeto real diante de um espelho convexo.