34.14 Para um espelho esférico convexo que possui uma distância focal f=-12,0 \mathrm{~cm}, a qual distância do vértice do espelho um objeto estará se a altura da imagem for metade da altura do objeto?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a que distância do vértice do espelho está o objeto quando a altura da imagem é metade da altura do objeto.
Informações dadas:
  • A distância focal do espelho é \,f=-12,0\\ \mathrm{cm}\,.
  • A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto é \,\dfrac{h'}{h}=\tfrac{1}{2}\, (a imagem tem metade da altura do objeto).
Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Definimos as grandezas que vamos usar (explicando cada uma):
  • \,f\, é a distância focal do espelho; para espelhos convexos ela é negativa (por convenio de sinais).
  • \,s_o\, é a distância do objeto ao vértice do espelho (para um objeto real, ela é positiva).
  • \,s_i\, é a distância da imagem ao vértice do espelho (para imagens virtuais formadas por espelhos convexos, \,s_i\, é negativa).
  • \,h\, é a altura do objeto.
  • \,h'\, é a altura da imagem.
  • A ampliação (ou magnificação) é \,m=\dfrac{h'}{h}=-\dfrac{s_i}{s_o}\,. Aqui explico por que: a relação entre alturas e distâncias para espelhos segue essa fórmula; o sinal negativo aparece porque uma imagem invertida corresponde a ampliação negativa, e uma imagem direita corresponde a ampliação positiva.
Também usamos a equação dos espelhos esféricos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}.
Essa equação relaciona focal, objeto e imagem.

Passo 3

Usamos a informação da razão das alturas. Como \dfrac{h'}{h}=\dfrac{1}{2}, temos a ampliação
m=\frac{h'}{h}=\tfrac{1}{2}.
Pela fórmula da ampliação
m=-\frac{s_i}{s_o},
temos
\tfrac{1}{2}=-\frac{s_i}{s_o}.

Passo 4

Isolamos \,s_i\, em função de \,s_o\, a partir da equação anterior:
-\frac{s_i}{s_o}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad s_i=-\tfrac{1}{2}s_o.
Observe: isso dá \,s_i\, negativo (como esperado para imagem virtual de um espelho convexo) quando \,s_o\, for positivo.

Passo 5

Substituímos \,s_i=-\tfrac{1}{2}s_o\, na equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{-\tfrac{1}{2}s_o}.
Calculamos o segundo termo:
\frac{1}{-\tfrac{1}{2}s_o}=-\frac{1}{\tfrac{1}{2}s_o}=-\frac{2}{s_o}.
Então
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}-\frac{2}{s_o}=-\frac{1}{s_o}.

Passo 6

Da igualdade \,\dfrac{1}{f}=-\dfrac{1}{s_o}\, obtemos
\frac{1}{s_o}=-\frac{1}{f}\quad\Rightarrow\quad s_o=-f.
Isto é uma conclusão geral para este problema: a distância do objeto será o oposto da distância focal.

Passo 7

Agora substituímos o valor numérico dado de \,f\,:
f=-12,0\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad s_o=-(-12,0\\ \mathrm{cm})=12,0\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física: \,s_o=12,0\\ \mathrm{cm}\, (positiva) significa que o objeto está a 12{,}0\\ \mathrm{cm} na frente do vértice do espelho, o que faz sentido para um objeto real diante de um espelho convexo.

Resposta

12,0\\ \mathrm{cm}

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