dada
, obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
com
e pede para obter
, isto é, calcular a transformada inversa de Laplace
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
fazendo a expansão do numerador e dividindo por
. Calculando
:
Dividindo por
obtemos
Agora simplificamos cada termo:
Portanto
Passo 3
Agora precisamos lembrar a fórmula básica da transformada de Laplace de potências de
. Para inteiro
vale
Dessa relação segue imediatamente a transformada inversa útil:
Explicando em palavras: cada termo
corresponde a uma potência de
dividida pelo fatorial adequado — por exemplo
corresponde a
, pois
;
corresponde a
, etc.
Passo 4
Aplicamos a propriedade termo a termo (linearidade da transformada de Laplace):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
Somando os resultados dos termos, obtemos a função no tempo: