dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}(f(t)) com
F(s)=\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}},
e pede para obter f(t), isto é, calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar F(s) fazendo a expansão do numerador e dividindo por s^{4}. Calculando (s+1)^{3}:
(s+1)^{3}=s^{3}+3s^{2}+3s+1.
Dividindo por s^{4} obtemos
\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}=\frac{s^{3}}{s^{4}}+\frac{3s^{2}}{s^{4}}+\frac{3s}{s^{4}}+\frac{1}{s^{4}}.
Agora simplificamos cada termo:
\frac{s^{3}}{s^{4}}=\frac{1}{s},\qquad \frac{3s^{2}}{s^{4}}=\frac{3}{s^{2}},\qquad \frac{3s}{s^{4}}=\frac{3}{s^{3}},\qquad \frac{1}{s^{4}}=\frac{1}{s^{4}}.
Portanto
F(s)=\frac{1}{s}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{3}{s^{3}}+\frac{1}{s^{4}}.

Passo 3

Agora precisamos lembrar a fórmula básica da transformada de Laplace de potências de t. Para inteiro n\ge0 vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n}\,dt=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Dessa relação segue imediatamente a transformada inversa útil:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{k}}\right\}=\frac{t^{\,k-1}}{(k-1)!},\quad k\ge1.
Explicando em palavras: cada termo 1/s^{k} corresponde a uma potência de t dividida pelo fatorial adequado — por exemplo 1/s^{2} corresponde a t, pois t^{1}/1!=t; 1/s^{3} corresponde a t^{2}/2!, etc.

Passo 4

Aplicamos a propriedade termo a termo (linearidade da transformada de Laplace):
  • Para \dfrac{1}{s}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • Para \dfrac{3}{s^{2}}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s^{2}}\right\}=3\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=3\cdot \dfrac{t^{1}}{1!}=3t.
  • Para \dfrac{3}{s^{3}}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s^{3}}\right\}=3\cdot \dfrac{t^{2}}{2!}=3\cdot \dfrac{t^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}t^{2}.
  • Para \dfrac{1}{s^{4}}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{4}}\right\}=\dfrac{t^{3}}{3!}=\dfrac{t^{3}}{6}.

Passo 5

Somando os resultados dos termos, obtemos a função no tempo:
f(t)=1+3t+\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{6}t^{3}.

Resposta

f(t)=1+3t+\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{6}t^{3}

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