Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. (L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{18 s-12}{9 s^{2}-1}\

Passo 1

O problema dá a transformada de Laplace F(s)=\mathscr{L}\{f\} e pede para encontrar f(t). A expressão fornecida é
F(s)=\frac{18s-12}{9s^{2}-1}.
Informações importantes dadas: numerador 18s-12 e denominador 9s^{2}-1. Não há outras dependências ou funções adicionais na questão. O objetivo claro é calcular a transformada inversa de Laplace de F(s), isto é, obter f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}=F.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observamos que
9s^{2}-1=(3s-1)(3s+1).
Então escrevemos F(s) na forma de frações parciais
\frac{18s-12}{(3s-1)(3s+1)}=\frac{A}{3s-1}+\frac{B}{3s+1},
onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (3s-1)(3s+1)\) obtemos a identidade \[18s-12 = A(3s+1)+B(3s-1).
Agora expandimos o lado direito:
A(3s+1)+B(3s-1)=3(A+B)s+(A-B).
Comparando coeficientes do polinômio em s com o lado esquerdo 18s-12, obtemos o sistema linear
\begin{cases} 3(A+B)=18,\\[4pt] A-B=-12. \end{cases}
Dividindo a primeira equação por 3\] dá \(A+B=6. Agora resolvemos o sistema:
somando A+B=6 com A-B=-12 temos 2A=-6, logo A=-3.
Substituindo em A+B=6 obtemos B=9.]

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, temos
F(s)=\frac{-3}{3s-1}+\frac{9}{3s+1}.
Agora simplificamos cada fração para deixar na forma padrão \dfrac{1}{s-a}, que tem inversa de Laplace direta. Note que 3s-1=3\bigl(s-\tfrac{1}{3}\bigr) e 3s+1=3\bigl(s+\tfrac{1}{3}\bigr). Assim
\frac{-3}{3s-1}=\frac{-3}{3\bigl(s-\tfrac{1}{3}\bigr)}=-\frac{1}{s-\tfrac{1}{3}}
e
\frac{9}{3s+1}=\frac{9}{3\bigl(s+\tfrac{1}{3}\bigr)}=\frac{3}{s+\tfrac{1}{3}}.

Passo 5

Lembrando a propriedade básica da transformada de Laplace:
\mathscr{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
onde a é uma constante (a variável t é o argumento da função no domínio do tempo e s é a variável complexa do domínio de Laplace). Usando a linearidade da transformada inversa, aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathscr{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s-\tfrac{1}{3}}\right\}=-e^{\tfrac{1}{3}t},
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s+\tfrac{1}{3}}\right\}=3e^{-\tfrac{1}{3}t}.
Somando as duas contribuições obtemos f(t):
f(t)=-e^{\tfrac{1}{3}t}+3e^{-\tfrac{1}{3}t}.

Resposta

f(t)=3e^{-t/3}-e^{t/3}

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