Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer.
,
são constantes.)
Passo 1
O problema dá a transformada de Laplace
e pede para encontrar
. A expressão fornecida é
Informações importantes dadas: numerador
e denominador
. Não há outras dependências ou funções adicionais na questão. O objetivo claro é calcular a transformada inversa de Laplace de
, isto é, obter
tal que
.
Passo 2
Primeiro vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observamos que
Então escrevemos
na forma de frações parciais
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Agora expandimos o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio em
com o lado esquerdo
, obtemos o sistema linear
Dividindo a primeira equação por
. Agora resolvemos o sistema:
somando
com
temos
, logo
.
Substituindo em obtemos
.]
Substituindo em
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição, temos
Agora simplificamos cada fração para deixar na forma padrão
, que tem inversa de Laplace direta. Note que
e
. Assim
e
Passo 5
Lembrando a propriedade básica da transformada de Laplace:
onde
é uma constante (a variável
é o argumento da função no domínio do tempo e
é a variável complexa do domínio de Laplace). Usando a linearidade da transformada inversa, aplicamos a transformada inversa termo a termo:
Somando as duas contribuições obtemos
: