Sejam
e
convergentes para
e
, respectivamente. Prove que
qualquer que seja
.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências convergentes
e
tais que
A pergunta que precisamos provar é: dado qualquer
, provar que
No enunciado não está exigido um método específico, então vou usar indução em
(método natural para potências) e um resultado auxiliar: o produto de duas sequências convergentes converge para o produto dos limites. Antes de fazer a indução, vou estabelecer e provar esse resultado auxiliar de forma didática.
Passo 2
Relembrando a definição de limite (varei aqui com calma): dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
Vou precisar também de dois fatos simples que usarei sem medo, mas provando-os rapidamente: (A) toda sequência convergente é limitada (bounded); (B) o produto de duas sequências convergentes converge para o produto dos limites. Vou provar (A) e (B) explicitamente porque são essenciais na prova por indução.
Passo 3
Prova do fato (A): se
então
é limitada.
Demonstração detalhada: escolha
. Pelo limite existe
tal que, para todo
,
Então, para
,
Para os índices finitos
tomamos o máximo finito desses valores absolutos, e definimos
Assim, para todo
vale
. Logo a sequência é limitada. (Fim da prova de (A).)
Passo 4
Prova do fato (B): se
e
então
.
Explicação do método antes de entrar nas contas: a ideia é escrever a diferença
de modo a separar termos envolvendo
e
. Depois controlamos cada termo com a definição
-
e usamos que uma das sequências é limitada (pelo Passo 3) para não deixar aparecer algo descontrolado.
Cálculo e estimativa:
Tomemos um
arbitrário. Queremos encontrar
tal que, para
,
Usando a desigualdade triangular e a fatoração acima:
Pelo Passo 3, como
, a sequência
é limitada: existe
tal que, para todo
,
. Agora escolhemos
e
úteis para controlar os dois termos. Por exemplo, tomemos
(este último caso trata bem se
— então
e a fórmula funciona). Como
, existe
tal que, para
,
Como
, existe
tal que, para
,
Defina
. Para
temos as duas desigualdades acima, então
Substituindo
e
e observando que
e
, obtemos
Isso prova que
. (Fim da prova de (B).)
Passo 5
Observação: a prova do Passo 4 é a ferramenta que vamos usar na indução para passar de
para
: sabendo que
e sabendo que
, o Passo 4 garante que
Passo 6
Agora fazemos a prova por indução em
.
Base da indução:
- Se o seu convívio com
inclui , então para todo , e . Logo trivialmente. - Para
temos e a hipótese já nos dá ; logo .
Passo indutivo:
- Suponha que para algum
valha (hipótese de indução). - Como também sabemos que
, aplicando o resultado do Passo 4 (produto de sequências convergentes) com , , e , obtemos
- Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo
.
Passo 7
Comentário pedagógico rápido: o coração da prova é dois pontos simples e úteis que vale memorizar para a prova:
- Sequência convergente é limitada.
- Produto de sequências convergentes converge para o produto dos limites.
Com esses dois fatos a indução nas potências fica elementar — você transforma potência em produto repetido e aplica o lema do produto passo a passo.