Sejam y \in \mathbb{R} e \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} uma sequência convergente para x \in \mathbb{R}.
(a) Prove que se y<x, então existe N \in \mathbb{N} tal que y<x_{n} para todo n \geq N.
(b) Prove que se x<y, então existe N \in \mathbb{N} tal que x_{n}<y para todo n \geq N.
(c) Prove que se x_{n} \geq y para todo n \in \mathbb{N}, então x \geq y;
(d) Se y<x_{n} para todo n \in \mathbb{N}, então podemos afirmar que y<x ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Dados:
  • y\in\mathbb{R}.
  • \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} é uma sequência que converge para x\in\mathbb{R}. Ou seja, \lim_{n\to\infty}x_n=x.
Perguntas:
(a) Provar que se y<x então existe N\in\mathbb{N} tal que y<x_n para todo n\ge N.
(b) Provar que se x<y então existe N\in\mathbb{N} tal que x_n<y para todo n\ge N.
(c) Provar que se x_n\ge y para todo n\in\mathbb{N}, então x\ge y.
(d) Se y<x_n para todo n\in\mathbb{N}, podemos afirmar que y<x? (Responder e justificar / dar contraexemplo se for falso.)

Passo 2

Lembrete da definição de convergência (ferramenta que usaremos): a sequência \left(x_n\right) converge para x significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|x_n-x|<\varepsilon.
Aqui |x_n-x| é a distância (valor absoluto) entre x_n e x. Essa definição nos diz que, escolhendo qualquer raio \varepsilon>0 em torno de x, todos os termos suficientemente tardios da sequência ficam dentro desse intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon). A ideia das partes (a) e (b) é escolher um \varepsilon apropriado que nos force a ficar estritamente de um lado de y.

Passo 3

Hipótese de (a): y<x. Defina
\varepsilon=\frac{x-y}{2}.
Note que \varepsilon>0 porque x-y>0. Pela convergência, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-x|<\varepsilon.
A partir de |x_n-x|<\varepsilon temos em particular x_n>x-\varepsilon. Agora calculemos x-\varepsilon:
x-\varepsilon = x-\frac{x-y}{2} = \frac{x+y}{2}.
Como y<x, a média \frac{x+y}{2} satisfaz y<\frac{x+y}{2}<x. Portanto, para todo n\ge N temos
x_n > x-\varepsilon = \frac{x+y}{2} > y,
ou seja, y<x_n para todo n\ge N. Isso prova (a).

Passo 4

Hipótese de (b): x<y. Defina
\varepsilon=\frac{y-x}{2},
que é positivo. Pela convergência, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-x|<\varepsilon.
Da desigualdade |x_n-x|<\varepsilon segue x_n<x+\varepsilon. Calcule x+\varepsilon:
x+\varepsilon = x+\frac{y-x}{2} = \frac{x+y}{2}.
Como x<y, tem-se \frac{x+y}{2}<y. Portanto, para todo n\ge N,
x_n < x+\varepsilon = \frac{x+y}{2} < y,
ou seja, x_n<y para todo n\ge N. Isso prova (b).

Passo 5

Hipótese de (c): x_n\ge y para todo n\in\mathbb{N}. Queremos mostrar x\ge y.
Fazemos por contradição. Suponha, ao contrário, que x<y. Então podemos aplicar o resultado da parte (b): se x<y então existe N tal que x_n<y para todo n\ge N. Mas isso contradiz a hipótese x_n\ge y para todo n. Logo a suposição x<y é falsa, e portanto x\ge y. (Alternativamente, poderia-se escolher \varepsilon=(y-x)/2 e obter diretamente a contradição.)

Passo 6

Pergunta (d): se y<x_n para todo n, podemos afirmar que y<x?
Resposta: não, não podemos garantir a desigualdade estrita. O que podemos garantir, pela parte (c), é que x\ge y. A desigualdade estrita pode falhar. Contraexemplo simples:
Escolha y\in\mathbb{R} fixo e defina x_n=y+\dfrac{1}{n}. Então para todo n temos y<x_n (porque 1/n>0). Entretanto \lim_{n\to\infty}x_n = y. Assim x=y, logo não é verdade que necessariamente y<x. Esse exemplo mostra que a desigualdade estrita pode desaparecer no limite.

Resposta

(a) Existe N\in\mathbb{N} tal que y<x_n para todo n\ge N.
(b) Existe N\in\mathbb{N} tal que x_n<y para todo n\ge N.
(c) x\ge y.
(d) Não. Só podemos afirmar x\ge y. Contraexemplo: x_n=y+\dfrac{1}{n} satisfaz y<x_n para todo n e \lim_{n\to\infty}x_n=y.

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