Sejam
e
uma sequência convergente para
.
(a) Prove que se
, então existe
tal que
para todo
.
(b) Prove que se
, então existe
tal que
para todo
.
(c) Prove que se
para todo
, então
;
(d) Se
para todo
, então podemos afirmar que
?
(a) Prove que se
(b) Prove que se
(c) Prove que se
(d) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Dados:
-
. -
é uma sequência que converge para . Ou seja, .
Perguntas:
(a) Provar que se então existe
tal que
para todo
.
(b) Provar que se então existe
tal que
para todo
.
(c) Provar que se para todo
, então
.
(d) Se para todo
, podemos afirmar que
? (Responder e justificar / dar contraexemplo se for falso.)
(a) Provar que se
(b) Provar que se
(c) Provar que se
(d) Se
Passo 2
Lembrete da definição de convergência (ferramenta que usaremos): a sequência
converge para
significa que
Aqui
é a distância (valor absoluto) entre
e
. Essa definição nos diz que, escolhendo qualquer raio
em torno de
, todos os termos suficientemente tardios da sequência ficam dentro desse intervalo
. A ideia das partes (a) e (b) é escolher um
apropriado que nos force a ficar estritamente de um lado de
.
Passo 3
Hipótese de (a):
. Defina
Note que
porque
. Pela convergência, existe
tal que, para todo
,
A partir de
temos em particular
. Agora calculemos
:
Como
, a média
satisfaz
. Portanto, para todo
temos
ou seja,
para todo
. Isso prova (a).
Passo 4
Hipótese de (b):
. Defina
que é positivo. Pela convergência, existe
tal que, para todo
,
Da desigualdade
segue
. Calcule
:
Como
, tem-se
. Portanto, para todo
,
ou seja,
para todo
. Isso prova (b).
Passo 5
Hipótese de (c):
para todo
. Queremos mostrar
.
Fazemos por contradição. Suponha, ao contrário, que
. Então podemos aplicar o resultado da parte (b): se
então existe
tal que
para todo
. Mas isso contradiz a hipótese
para todo
. Logo a suposição
é falsa, e portanto
. (Alternativamente, poderia-se escolher
e obter diretamente a contradição.)
Passo 6
Pergunta (d): se
para todo
, podemos afirmar que
?
Resposta: não, não podemos garantir a desigualdade estrita. O que podemos garantir, pela parte (c), é que
. A desigualdade estrita pode falhar. Contraexemplo simples:
Escolha
fixo e defina
. Então para todo
temos
(porque
). Entretanto
. Assim
, logo não é verdade que necessariamente
. Esse exemplo mostra que a desigualdade estrita pode desaparecer no limite.
Resposta
(a) Existe
tal que
para todo
.
(b) Existe tal que
para todo
.
(c) .
(d) Não. Só podemos afirmar . Contraexemplo:
satisfaz
para todo
e
.
(b) Existe
(c)
(d) Não. Só podemos afirmar