Dada F(s)=mathscrL(f), obtenha f(t)(L, n, k, a, b são constantes ).
s^4-3 s^2+12s^5

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício onde nos dão uma função na forma de transformada de Laplace, ou seja, $ F(s) = \mathscr{L}(f) $, e precisamos encontrar a função $ f(t) $. O que isso significa? Basicamente, a transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como inverter essa transformada, ou seja, encontrar $ f(t) $ a partir de $ F(s) $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que nos foi dada:
F(s) = s^4 - 3 s^2 + 12s^5
Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace. Uma boa estratégia é dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente.

Passo 3

Vamos dividir cada termo do numerador por $ s^{5} $:
s^5
Agora, temos três termos separados, o que facilita a aplicação das propriedades da transformada inversa de Laplace.

Passo 4

Vamos lembrar de algumas transformadas inversas básicas:
  1. L^-1( 1s ) = 1
  2. L^-1( 1s^n ) = t^n-1(n-1)!
Aplicando essas regras aos nossos termos:
  • Para $ \frac{1}{s} $:
1s
  • Para $ \frac{3}{s^{3}} $:
L^-1( 1s ) = 1
  • Para $ \frac{12}{s^{5}} $:
3s^3

Resposta

Juntando tudo, a função $ f(t) $ é:
f(t)

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