A trajetória de um helicóptero é descrita pelas seguintes equações paramétricas:
x=5+200 t y=1-100 t (t in|0,1| h) z=5
As distâncias estāo em quilômetros, e o tempo, em horas. Considere as seguintes afirmativas com relação ao enunciado da questâo:
I. O módulo da velocidade do helicóptero é 223,61 km / h.
II. O helicóptero se desloca em um plano paralelo ao plano x y.
III. O helicóptero passa pela posiçāo P(105,-30,5) km.
É correto o que se afirma em:
A Apenas I.
B II III, apenas.
C lell, apenas.
D I e III, apenas.
E I, ll e III.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as equações paramétricas que descrevem a trajetória de um helicóptero:
x = 5 + 200t y = 1 - 100t (t in [0,1] h) z = 5
Matéria envolvida: Cinemática no espaço, especificamente movimentos em trajetórias paramétricas.
O que vamos precisar: Entender como calcular a velocidade a partir das equações paramétricas, analisar o plano de movimento e verificar se o helicóptero passa por uma posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade do helicóptero.
A velocidade em cada direção é dada pela derivada das posições em relação ao tempo vx = dxdt = 200 , km/h vy = dydt = -100 , km/h vz = dzdt = 0 , km/h (já que z = 5 é constante) .
Então:
áé

Passo 3

Agora, para encontrar o módulo da velocidade |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 , usamos a fórmula:
|v| = raiz(200)^2 + (-100)^2 + (0)^2 = raiz40000 + 10000 = raiz50000 approx 223,61 , km/h
Substituindo os valores:
Então, a afirmativa I está correta.

Passo 4

Vamos verificar a afirmativa II: “O helicóptero se desloca em um plano paralelo ao plano z = 5 .”
Observando a equação de :
Isso indica que a altura do helicóptero é constante, ou seja, ele está sempre no mesmo nível vertical. Portanto, o movimento ocorre em um plano horizontal paralelo ao plano .
Logo, a afirmativa II também está correta.

Passo 5

Por último, vamos verificar a afirmativa III: “O helicóptero passa pela posição x = 105 y = -30 z = 5 km.”
Para isso, precisamos encontrar se existe um tempo 105 = 5 + 200t implies 200t = 100 implies t = 0,5 , h -30 = 1 - 100t implies -100t = -31 implies t = 0,31 , h dentro do intervalo [0,1] h que satisfaça:
Usando as equações paramétricas:
Notamos que os valores de não coincidem. Portanto, não existe um tempo que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Assim, o helicóptero não passa pela posição km.
Portanto, a afirmativa III está incorreta.

Resposta

A opção correta é Apenas I.

Exercícios relacionados