A trajetória de um helicóptero é descrita pelas seguintes equações paramétricas:
As distâncias estāo em quilômetros, e o tempo, em horas. Considere as seguintes afirmativas com relação ao enunciado da questâo:
I. O módulo da velocidade do helicóptero é
.
II. O helicóptero se desloca em um plano paralelo ao plano
.
III. O helicóptero passa pela posiçāo
.
É correto o que se afirma em:
A Apenas I.
B
III, apenas.
C lell, apenas.
D I e III, apenas.
E I, ll e III.
I. O módulo da velocidade do helicóptero é
II. O helicóptero se desloca em um plano paralelo ao plano
III. O helicóptero passa pela posiçāo
É correto o que se afirma em:
A Apenas I.
B
C lell, apenas.
D I e III, apenas.
E I, ll e III.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá as equações paramétricas que descrevem a trajetória de um helicóptero:
Matéria envolvida: Cinemática no espaço, especificamente movimentos em trajetórias paramétricas.
O que vamos precisar: Entender como calcular a velocidade a partir das equações paramétricas, analisar o plano de movimento e verificar se o helicóptero passa por uma posição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade do helicóptero.
A velocidade em cada direção é dada pela derivada das posições em relação ao tempo
.
Então:
Passo 3
Agora, para encontrar o módulo da velocidade
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a afirmativa I está correta.
Passo 4
Vamos verificar a afirmativa II: “O helicóptero se desloca em um plano paralelo ao plano
.”
Observando a equação de
:
Isso indica que a altura
do helicóptero é constante, ou seja, ele está sempre no mesmo nível vertical. Portanto, o movimento ocorre em um plano horizontal paralelo ao plano
.
Logo, a afirmativa II também está correta.
Passo 5
Por último, vamos verificar a afirmativa III: “O helicóptero passa pela posição
km.”
Para isso, precisamos encontrar se existe um tempo
dentro do intervalo [0,1] h que satisfaça:
Usando as equações paramétricas:
Notamos que os valores de
não coincidem. Portanto, não existe um tempo
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Assim, o helicóptero não passa pela posição
km.
Portanto, a afirmativa III está incorreta.
Resposta
A opção correta é Apenas I.