Nos três primeiros problemas, encontre a transformada. Nos últimos três, encontre as transformadas inversas.
-3 t^4 e^-0,5 t

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a transformada da função $ -3 t^{4} e^{-0,5 t} $. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, e para isso vamos precisar entender a definição da transformada e algumas propriedades que facilitam os cálculos, como a transformada de funções do tipo $ t^n e^{at} $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, a função é $ f(t) = -3 t^{4} e^{-0,5 t} $.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com funções da forma $ t^n e^{a t} $. A transformada dessa função é:
t^n e^a t
Isso significa que podemos identificar $ n = 4 $ e $ a = -0,5 $ na nossa função.

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada, vamos calcular a transformada de $ t^{4} e^{-0,5 t} $:
t^4 e^-0,5 t
Lembrando que $ 4! = 24 $.

Passo 5

Agora, não podemos esquecer do coeficiente -3 que está multiplicando a função original. A transformada é uma operação linear, então podemos multiplicar esse coeficiente diretamente:
L-3 t^4 e^-0,5 t = -3 cdot 24(s + 0,5)^5 = -72(s + 0,5)^5

Resposta

A transformada de Laplace da função $ -3 t^{4} e^{-0,5 t} $ é:
-3 t^4 e^-0,5 t

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