Nos três primeiros problemas, encontre a transformada. Nos últimos três, encontre as transformadas inversas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a transformada da função $ -3 t^{4} e^{-0,5 t} $. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, e para isso vamos precisar entender a definição da transformada e algumas propriedades que facilitam os cálculos, como a transformada de funções do tipo $ t^n e^{at} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, a função é $ f(t) = -3 t^{4} e^{-0,5 t} $.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com funções da forma $ t^n e^{a t} $. A transformada dessa função é:
Isso significa que podemos identificar $ n = 4 $ e $ a = -0,5 $ na nossa função.
Passo 4
Aplicando a propriedade mencionada, vamos calcular a transformada de $ t^{4} e^{-0,5 t} $:
Lembrando que $ 4! = 24 $.
Passo 5
Agora, não podemos esquecer do coeficiente
que está multiplicando a função original. A transformada é uma operação linear, então podemos multiplicar esse coeficiente diretamente:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ -3 t^{4} e^{-0,5 t} $ é: