Calcule:
lim x (lim z alpha^- alpha^3 x+alpha^2 x^2+alpha x^3+x^810^8 cdot alpha x^beta(z-alpha))^10^beta+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular um limite que envolve funções com potências e limites duplos. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especificamente limites de funções complexas com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de funções polinomiais e exponenciais, além de aplicar propriedades de limites compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite interno, que é:
lim z alpha^- alpha^3x + alpha^2x^2 + alpha x^3 + x^810^8 cdot alpha cdot x^beta(z - alpha)
Aqui, estamos fazendo o limite quando $ z $ se aproxima de $ \alpha $ pela esquerda ($ \alpha^{-} $). Observe que $ x $ é tratado como uma constante nesse contexto, já que o limite é em relação a $ z $.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, observe que:
alpha^3x + alpha^2x^2 + alpha x^3 + x^810^8 cdot alpha = alpha^3x10^8 cdot alpha + alpha^2x^210^8 cdot alpha + alpha x^310^8 cdot alpha + x^810^8 cdot alpha
Simplificando cada termo:
= alpha^2x10^8 + alpha x^210^8 + x^310^8 + x^810^8 cdot alpha

Passo 4

Agora, vamos focar no termo exponencial $ x^{\beta(z - \alpha)} $. Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
x^beta(z - alpha)
À medida que $ z $ se aproxima de $ \alpha $, $ z - \alpha $ se aproxima de 0. Portanto, o expoente $ \beta(z - \alpha) \ln x $ também se aproxima de 0.

Passo 5

Observando que $ e^{0} = 1 $, podemos concluir que:
e^0 = 1
Então, o limite interno simplifica para:
lim z alpha^- x^beta(z - alpha) = 1

Passo 6

Vamos chamar essa expressão de $ L(x) $:
L(x)
Agora, o limite original se transforma em:

Passo 7

Para simplificar, notamos que o limite é do tipo $ \lim_{x \to a} f(x)^{n} $, onde $ n = 10^{\beta+1} $. Sabemos que:
limx to a f(x)^n
Então, precisamos encontrar $ \lim_{x \to L(x)} $.

Passo 8

Substituindo $ L(x) $ na expressão, temos:
L(x)
Assumindo que $ x $ se aproxima de $ L(x) $, para que o limite exista, $ x $ deve ser igual a $ L(x) $ no ponto de convergência. Portanto, podemos resolver a equação:
limx to L(x) L(x)^10^beta+1

Passo 9

Resolvendo $ x = L(x) $:
x = L(x)
Multiplicando ambos os lados por $ 10^{8} \cdot \alpha $ para eliminar os denominadores:
x = alpha^2x10^8 + alpha x^210^8 + x^310^8 + x^810^8 cdot alpha

Passo 10

Vamos reorganizar a equação:
x^8 + alpha x^3 + alpha^2x^2 + alpha^3x - 10^8 cdot alpha cdot x = 0
Fatorando $ x $:
x
Então, uma solução é $ x = 0 $. Considerando que estamos lidando com limites e potências, podemos assumir que $ x = 0 $ é a solução relevante.

Passo 11

Portanto, o limite se reduz a:

Resposta

O valor do limite é $ 0 $.

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