Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular um limite que envolve funções com potências e limites duplos. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especificamente limites de funções complexas com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de funções polinomiais e exponenciais, além de aplicar propriedades de limites compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite interno, que é:
Aqui, estamos fazendo o limite quando $ z $ se aproxima de $ \alpha $ pela esquerda ($ \alpha^{-} $). Observe que $ x $ é tratado como uma constante nesse contexto, já que o limite é em relação a $ z $.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, observe que:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos focar no termo exponencial $ x^{\beta(z - \alpha)} $. Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
À medida que $ z $ se aproxima de $ \alpha $, $ z - \alpha $ se aproxima de 0. Portanto, o expoente $ \beta(z - \alpha) \ln x $ também se aproxima de 0.
Passo 5
Observando que $ e^{0} = 1 $, podemos concluir que:
Então, o limite interno simplifica para:
Passo 6
Vamos chamar essa expressão de $ L(x) $:
Agora, o limite original se transforma em:
Passo 7
Para simplificar, notamos que o limite é do tipo $ \lim_{x \to a} f(x)^{n} $, onde $ n = 10^{\beta+1} $. Sabemos que:
Então, precisamos encontrar $ \lim_{x \to L(x)} $.
Passo 8
Substituindo $ L(x) $ na expressão, temos:
Assumindo que $ x $ se aproxima de $ L(x) $, para que o limite exista, $ x $ deve ser igual a $ L(x) $ no ponto de convergência. Portanto, podemos resolver a equação:
Passo 9
Resolvendo $ x = L(x) $:
Multiplicando ambos os lados por $ 10^{8} \cdot \alpha $ para eliminar os denominadores:
Passo 10
Vamos reorganizar a equação:
Fatorando $ x $:
Então, uma solução é $ x = 0 $. Considerando que estamos lidando com limites e potências, podemos assumir que $ x = 0 $ é a solução relevante.
Passo 11
Portanto, o limite se reduz a:
Resposta
O valor do limite é $ 0 $.