Dada a matriz A, abaixo, encontre B tal que o sistema A X=B não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal B no caso geral de uma matrix m times n com número de posições pivôs menor que m.
A=(cccc2 & 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 4).
17. Considere o sistema abaixo
& x+y+k z=1 & x+y+2 z=2 & k x+y+z=2-k
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de k.

Passo 1

Resumo do primeiro problema: temos a matriz
A= 2 & 1 & 1 & -1 -1& 1 & 0 & 2 3 & 0 & 0 & 0 -1& 2 & 0 & 4
e queremos um vetor Bin R^4 tal que o sistema A X=B seja incompatível. O conteúdo é estudar a condição de consistência B pertencer ao espaço coluna de A, ou seja usar o fato de que rank(A)<4 implica que há uma relação linear entre as linhas de A que qualquer B deve satisfazer para ser consistente.

Passo 2

Reduzindo A por eliminação de Gauss encontramos que rank(A)=3 e que a quarta linha original é combinação linear das três primeiras. De fato, resolvendo
alpha,(2,1,1,-1)+beta,(-1,1,0,2)+gamma,(3,0,0,0)=(-1,2,0,4)
vem alpha=0, beta=2, gamma=tfrac13. Logo toda combinação de colunas que produz B=(b1,b2,b3,b4)^T deve satisfazer
b4 ;=;2,b2+tfrac13,b3

Passo 3

Para tornar o sistema inconsistente basta escolher B que viole essa relação. Por exemplo,
B = 0001,
pois 1neq2cdot0+tfrac13cdot0. Então A X=B não tem solução.

Passo 4

Procedimento geral para uma matriz mtimes n com rank(A)=r<m: encontre um vetor não-nulo yin R^m tal que
y^T A = 0^T
(entra no espaço nulo à esquerda). A condição de consistência é y^T B=0. Logo basta escolher B com y^T Bneq0 para garantir que A X=B seja incompatível.

Passo 5

Resumo do segundo problema: o sistema
x+y+kz=1, x+y+2z=2, kx+y+z=2-k
depende do parâmetro k. Queremos (a) valores de k para solução única, (b) infinitas soluções e (c) sem solução, e depois indicar as posições de pivô da matriz aumentada em cada caso.

Passo 6

Formamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação:
l[,x;y;zmid;r];to; 1 & 1 & k &mid&1 1 & 1 & 2 &mid&2 k & 1 & 1 &mid&2-k
Subtraindo linha 1 de linha 2 e k vezes linha 1 de linha 3, obtemos
1 & 1 & k &mid&1 0 & 0 & 2-k &mid&1 0 & 1-k & 1-k^2 &mid&2-2k

Passo 7

Analisando os pivôs e compatibilidade:
  • Se kneq1 e kneq2, então 1-kneq0 e 2-kneq0. Há pivô em colunas 1, 2 e 3, rank=3, solução única.
  • Se k=1, então linha 2 fica (0,0,1mid1) e linha 3 fica (0,0,0mid0). Há pivôs em colunas 1 e 3, rank=2<3, e a última variável fica livre to infinitas soluções.
  • Se k=2, então linha 2 fica (0,0,0mid1) impossível l(0=1r) to sistema sem solução. Nesta situação há pivô também na coluna aumentada.

Resposta

Para a matriz A:
B=0001 faz A X=B sem solução.
Procedimento geral: ache yneq0 tal que y^T A=0 e escolha B com y^T Bneq0.
Para o sistema paramétrico:
(a) solução única se and only if kneq1,2.
(b) infinitas soluções se k=1.
(c) sem solução se k=2.
Posições de pivô na matriz aumentada:
  • kneq1,2: pivôs nas colunas 1,2,3.
  • k=1: pivôs nas colunas 1,3.
  • k=2: pivôs nas colunas 1,2 e também na coluna aumentada (inconsistência).

Exercícios relacionados