Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no espaço:
r1: x=2-t y=3-5t z=6-6t e r2: x=-3+6h y=1+7h z=-1+13h
Queremos verificar se elas se intersectam (são concorrentes) e, em caso afirmativo, achar esse ponto.

Passo 2

Para haver interseção, deve existir (t,h) tais que as coordenadas coincidam:
2 - t = -3 + 6h 3 - 5t = 1 + 7h 6 - 6t = -1 + 13h

Passo 3

Das duas primeiras equações:
2 - t = -3 + 6h Longrightarrow t = 5 - 6h,
3 - 5t = 1 + 7h Longrightarrow 3 - 5(5 - 6h) = 1 + 7h ;Longrightarrow; 3 - 25 + 30h = 1 + 7h ;Longrightarrow; 30h -7h = 1 +25 -3 ;Longrightarrow; 23h = 23 ;Longrightarrow; h = 1
Então t = 5 - 6cdot1 = -1.

Passo 4

Verificamos na terceira equação:
6 - 6t stackrel?= -1 + 13h Longrightarrow 6 - 6(-1) = 6 + 6 = 12, -1 + 13cdot1 = 12
Na verdade, 12 = 12, logo a terceira equação também é satisfeita.

Resposta

As retas são concorrentes e se intersectam quando t=-1 e h=1.
Substituindo em r1 (ou em r2), obtemos o ponto de interseção
(2 - (-1),,3 - 5(-1),,6 - 6(-1)) = (3,,8,,12)

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