Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3. A reta r1 está em forma paramétrica
r1:;(x,y,z)=(2,4,0)+t,(1,-1,-1)
e a reta r2 está definida como interseção dos planos
y=6-x, z=2-x
Queremos ver se existe pelo menos um ponto comum (concurrência) e, em caso afirmativo, determinar esse ponto.

Passo 2

Para comparar com r1, escrevemos r2 também em forma paramétrica. Basta tomar como parâmetro s=x. Então
x=s, y=6-s, z=2-s,
ou seja
r2:;(x,y,z)=(s,6-s,2-s)= (0,6,2)+s,(1,-1,-1)

Passo 3

Agora extraímos o vetor diretor de cada reta:
d1=(1,-1,-1) e d2=(1,-1,-1). Como são proporcionais (na verdade idênticos), as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir se coincidem, basta verificar se um ponto de r1 pertence a r2. Tomamos em r1 o ponto t=0, que é (2,4,0), e vemos em r2 se existe s tal que
(s,6-s,2-s)=(2,4,0)
Resolviendo
s=2, 6-s=4, 2-s=0,
vemos que todas as igualdades são verdadeiras para s=2. Logo (2,4,0) está em r2.

Passo 5

Conclusão: as duas retas têm o mesmo vetor diretor e compartilham o ponto (2,4,0), isto é, são coincidentes. Isso significa que elas concorrem em todos os seus pontos.

Resposta

As retas são coincidentes (logo concorrem) e, por exemplo, (2,4,0) é um ponto de interseção.

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