Dados o ponto A(3,4,-2) e a reta
r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t
(a) determinar as equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r,
(b) calcular a distância de A a r;
(c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.

Passo 1

O enunciado dá o ponto
e pede (a) a reta que passa por , (b) a distância de a e (c) o ponto simétrico de em relação a . Vamos usar projeção de vetores para encontrar o pé da perpendicular, depois a distância e finalmente a reflexão.

Passo 2

Escolhemos o ponto P=(1,2,4) em r (corresponde a t=0) e o vetor direção de r, ,u=(1,-1,2). O vetor AP=A-P=(2,2,-6). Calculamos o parâmetro da projeção:
t0=APcdot uucdot u =2cdot1+2cdot(-1)+(-6)cdot21^2+(-1)^2+2^2 =-126=-2
Logo o pé da perpendicular é
M = P + t0,u = (1,2,4)+(-2),(1,-1,2)=(-1,4,0)
A reta perpendicular rperp passa por A e tem direção AM=M-A=(-4,0,2). Assim suas equações paramétricas são
x=3-4s, y=4, z=-2+2s

Passo 3

A distância de A a r é o comprimento de AM:
d = |AM| = raiz(-4)^2+0^2+2^2 = raiz20 = 2raiz5

Passo 4

O ponto simétrico A' de A em relação a r fica sobre a mesma perpendicular e satisfaz
M = A + A'2 Longrightarrow A' = 2M - A = 2(-1,4,0) - (3,4,-2) = (-5,4,2)

Resposta

(a) A reta perpendicular é
x=3-4s, y=4, z=-2+2s
(b) 2raiz5.
(c) (-5,4,2).

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