Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y, 4 x). Encontre [T] em relação às bases canônicas
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y,\; 4x).
Pede-se encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que temos:
A transformação T está explicitada coordenada a coordenada.
As bases canônicas são \;e_1=(1,0),\; e_2=(0,1) em \mathbb{R}^2 e \;f_1=(1,0,0),\; f_2=(0,1,0),\; f_3=(0,0,1) em \mathbb{R}^3.
O objetivo: montar a matriz [T] cujo efeito sobre um vetor coluna (x,y)^\top reproduz T(x,y).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a matriz de T relativa às bases canônicas é a matriz m\times n cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica do domínio, expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio.
Ou seja:
calcule T(e_1) e T(e_2),
escreva esses vetores como colunas (suas coordenadas já são em relação à base canônica de \mathbb{R}^3),
a matriz resultante tem essas colunas, na ordem correspondente aos e_j.
Isso funciona porque, se [T] tem colunas T(e_1),T(e_2), então para qualquer (x,y)