Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y, 4 x). Encontre [T] em relação às bases canônicas

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y,\; 4x).
Pede-se encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que temos:
  • A transformação T está explicitada coordenada a coordenada.
  • As bases canônicas são
    \;e_1=(1,0),\; e_2=(0,1) em \mathbb{R}^2 e
    \;f_1=(1,0,0),\; f_2=(0,1,0),\; f_3=(0,0,1) em \mathbb{R}^3.
  • O objetivo: montar a matriz [T] cujo efeito sobre um vetor coluna (x,y)^\top reproduz T(x,y).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a matriz de T relativa às bases canônicas é a matriz m\times n cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica do domínio, expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio.
Ou seja:
  • calcule T(e_1) e T(e_2),
  • escreva esses vetores como colunas (suas coordenadas já são em relação à base canônica de \mathbb{R}^3),
  • a matriz resultante tem essas colunas, na ordem correspondente aos e_j.
Isso funciona porque, se [T] tem colunas T(e_1),T(e_2), então para qualquer (x,y)
[T]\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = x\,T(e_1)+y\,T(e_2) = T(x,y),
pela linearidade de T.]

Passo 3

Calcular T(e_1) onde e_1=(1,0). Substituindo (x,y)=(1,0) na definição:
T(1,0) = (2\cdot 1 - 0,\; 1 + 3\cdot 0,\; 4\cdot 1) = (2,\;1,\;4).
Portanto T(e_1) = (2,1,4)^\top.

Passo 4

Calcular T(e_2) onde e_2=(0,1). Substituindo (x,y)=(0,1):
T(0,1) = (2\cdot 0 - 1,\; 0 + 3\cdot 1,\; 4\cdot 0) = (-1,\;3,\;0).
Portanto T(e_2) = (-1,3,0)^\top.

Passo 5

Montar a matriz de T tomando as colunas T(e_1) e T(e_2), nessa ordem. Obtemos a matriz 3\times 2
[T] = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 4 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando essa matriz por \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y\\[4pt]x+3y\\[4pt]4x\end{pmatrix},
que coincide com a definição de T(x,y). Pronto — está tudo coerente.]

Resposta

[T]=\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 4 & 0 \end{pmatrix}]

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