O que é pedido:
(a) escrever explicitamente T(x,y,z) para um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3;
(b) calcular T(2,-1,3);
(c) encontrar \ker(T) e \operatorname{Im}(T).]
Passo 2
Como entender a ação da matriz sobre um vetor: se v=(x,y,z)^\top então
Multiplicação linha-por-coluna dá as componentes da imagem. Vou calcular cada componente separadamente:
primeira componente: produto da primeira linha pela coluna (x,y,z)^\top, ou seja
1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z = x + 2y - z;
segunda componente: produto da segunda linha pela coluna (x,y,z)^\top, ou seja
0\cdot x + 3\cdot y + 2\cdot z = 3y + 2z.
Portanto a fórmula da transformação é
T(x,y,z)=\bigl(x+2y-z,\;3y+2z\bigr).
Comentário didático rápido: outra visão equivalente é que T(x,y,z)=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}, ou seja, combina-se linearmente as colunas da matriz com as coordenadas.]
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}. Para encontrar \ker(T) resolvemos o sistema linear T(x,y,z)=(0,0).
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}. Com respeito à base canônica, \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz [T] (o chamado espaço das colunas).
Passo 5
Encontrando \ker(T)\): escrever \(T(x,y,z)=(0,0)\), ou seja o sistema
\[\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] 3y+2z=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo. Da segunda equação:
3y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{2}{3}z.
Substituo esse y\] na primeira equação:
\[x + 2\left(-\dfrac{2}{3}z\right) - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - \dfrac{4}{3}z - z = 0.\]
Somando os termos em \(z:
-\dfrac{4}{3}z - z = -\dfrac{4}{3}z - \dfrac{3}{3}z = -\dfrac{7}{3}z,
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x - \dfrac{7}{3}z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{7}{3}z.
Parametrizo em função de z. Se z=t\in\mathbb{R}, então
Agora verifico a dimensão do espaço gerado. Primeiro, note que c_1 e c_2 não são múltiplos um do outro (porque c_1 tem segunda componente 0 e c_2 tem segunda componente 3\neq0), então c_1 e c_2 são linearmente independentes. Como estamos em \mathbb{R}^2, dois vetores independentes já formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim \operatorname{Im}(T) tem dimensão 2 e, por consequência,
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Para reforçar, pode-se verificar que c_3 é combinação linear de c_1 e c_2. Procuro a,b tais que a c_1 + b c_2 = c_3:
Do segundo componente obtemos 3b=2\Rightarrow b=\tfrac{2}{3}. Do primeiro componente a+2b=-1\Rightarrow a=-1-2\cdot\tfrac{2}{3}=-\tfrac{7}{3}. Portanto c_3=-\tfrac{7}{3}c_1+\tfrac{2}{3}c_2, confirmando que c_3 não acrescenta dimensão à imagem.]
Passo 7
Checagem pelo teorema da dimensão (teorema do posto e nulidade): \dim\ker(T)=1 (encontrado) e \dim\operatorname{Im}(T)=2. Como \dim\mathbb{R}^3=3, temos 1+2=3, coerente com o teorema.