Dada a matriz [T]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 3 & 2\end{array}\right] em relação às bases canônicas:
(a) Encontre T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
(b) Calcule T(2,-1,3)
(c) Encontre \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} na base canônica:
[T]=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & 3 & 2\end{pmatrix}.
O que é pedido:
(a) escrever explicitamente T(x,y,z) para um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3;
(b) calcular T(2,-1,3);
(c) encontrar \ker(T) e \operatorname{Im}(T).]

Passo 2

Como entender a ação da matriz sobre um vetor: se v=(x,y,z)^\top então
[T]\,v=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Multiplicação linha-por-coluna dá as componentes da imagem. Vou calcular cada componente separadamente:
  • primeira componente: produto da primeira linha pela coluna (x,y,z)^\top, ou seja
1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z = x + 2y - z;
  • segunda componente: produto da segunda linha pela coluna (x,y,z)^\top, ou seja
0\cdot x + 3\cdot y + 2\cdot z = 3y + 2z.
Portanto a fórmula da transformação é
T(x,y,z)=\bigl(x+2y-z,\;3y+2z\bigr).
Comentário didático rápido: outra visão equivalente é que T(x,y,z)=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}, ou seja, combina-se linearmente as colunas da matriz com as coordenadas.]

Passo 3

Agora calculo T(2,-1,3) aplicando a fórmula encontrada. Substituindo x=2, y=-1, z=3:
  • primeira componente:
x+2y-z = 2 + 2\cdot(-1) - 3 = 2 -2 -3 = -3;
  • segunda componente:
3y+2z = 3\cdot(-1) + 2\cdot 3 = -3 + 6 = 3.
Logo
T(2,-1,3)=(-3,\,3).

Passo 4

Definições importantes (didática):
  • \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}. Para encontrar \ker(T) resolvemos o sistema linear T(x,y,z)=(0,0).
  • \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}. Com respeito à base canônica, \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz [T] (o chamado espaço das colunas).

Passo 5

Encontrando \ker(T)\): escrever \(T(x,y,z)=(0,0)\), ou seja o sistema \[\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] 3y+2z=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo. Da segunda equação:
3y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{2}{3}z.
Substituo esse y\] na primeira equação: \[x + 2\left(-\dfrac{2}{3}z\right) - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - \dfrac{4}{3}z - z = 0.\] Somando os termos em \(z:
-\dfrac{4}{3}z - z = -\dfrac{4}{3}z - \dfrac{3}{3}z = -\dfrac{7}{3}z,
logo
x - \dfrac{7}{3}z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{7}{3}z.
Parametrizo em função de z. Se z=t\in\mathbb{R}, então
(x,y,z)=\left(\dfrac{7}{3}t,\;-\dfrac{2}{3}t,\;t\right)=t\left(\dfrac{7}{3},-\dfrac{2}{3},1\right).
Para obter um gerador com coordenadas inteiras, faço t=3u (com u\in\mathbb{R}), obtendo
(x,y,z)=u(7,-2,3).
Portanto
\ker(T)=\operatorname{span}\{(7,-2,3)\},
ou seja, é uma reta unidimensional gerada por (7,-2,3).]

Passo 6

Encontrando \operatorname{Im}(T): como dito, é o espaço gerado pelas colunas da matriz. As colunas são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.
Agora verifico a dimensão do espaço gerado. Primeiro, note que c_1 e c_2 não são múltiplos um do outro (porque c_1 tem segunda componente 0 e c_2 tem segunda componente 3\neq0), então c_1 e c_2 são linearmente independentes. Como estamos em \mathbb{R}^2, dois vetores independentes já formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim \operatorname{Im}(T) tem dimensão 2 e, por consequência,
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Para reforçar, pode-se verificar que c_3 é combinação linear de c_1 e c_2. Procuro a,b tais que a c_1 + b c_2 = c_3:
a\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Do segundo componente obtemos 3b=2\Rightarrow b=\tfrac{2}{3}. Do primeiro componente a+2b=-1\Rightarrow a=-1-2\cdot\tfrac{2}{3}=-\tfrac{7}{3}. Portanto c_3=-\tfrac{7}{3}c_1+\tfrac{2}{3}c_2, confirmando que c_3 não acrescenta dimensão à imagem.]

Passo 7

Checagem pelo teorema da dimensão (teorema do posto e nulidade): \dim\ker(T)=1 (encontrado) e \dim\operatorname{Im}(T)=2. Como \dim\mathbb{R}^3=3, temos 1+2=3, coerente com o teorema.

Resposta

(a) T(x,y,z)=\bigl(x+2y-z,\;3y+2z\bigr)
(b) T(2,-1,3)=(-3,\,3)
(c) \ker(T)=\operatorname{span}\{(7,-2,3)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2

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