Dada a matriz A e seus autovalores, encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, calcule A^{5}. A=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right], \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e os autovalores \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=3. As perguntas são:
Encontrar uma base para o autoespaço associado a \lambda_{1}=1.
Encontrar uma base para o autoespaço associado a \lambda_{2}=3.
Dizer se A é diagonalizável.
Se for diagonalizável, calcular A^{5}.
As informações relevantes dadas são a matriz A e os valores próprios \lambda_{1} e \lambda_{2}. Não há outras informações adicionais.]
Passo 2
Primeiro um lembrete didático sobre o que é um autoespaço e como encontrá-lo. Para um autovalor \lambda, o autoespaço associado é o núcleo da matriz (A-\lambda I), isto é, o conjunto de vetores v tais que
(A-\lambda I)v=0.
Para encontrar uma base do autoespaço, fazemos o seguinte procedimento prático:
Calcular a matriz (A-\lambda I).
Resolver o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 por eliminação (ou inspeção).
Os vetores livres que geram a solução formam uma base do autoespaço.
Também é importante saber: para uma matriz de ordem 2, se os dois autovalores são distintos então a matriz é automaticamente diagonalizável, pois teremos dois autovetores linearmente independentes.
Passo 3
Agora aplicamos o procedimento para \lambda_{1}=1.
Logo uma base do autoespaço associado a \lambda_{2}=3 é o vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Decidindo se A é diagonalizável. Como a matriz é 2\times2 e encontramos dois autovalores distintos \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=3, já sabemos que existem dois autovetores linearmente independentes (os vetores que achamos são múltiplos de \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, que não são colineares). Portanto A é diagonalizável.
Para diagonalizar explicitamente, montamos a matriz P cujas colunas são autovetores correspondentes, e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
escolhendo a ordem \lambda_{1}=1 primeiro e \lambda_{2}=3 segundo, tomamos
Agora efetuamos as multiplicações para obter A^{5}.
Primeiro calculamos P D^{5}. Multiplicar cada coluna de P pelo correspondente elemento diagonal de D^{5} dá:
a primeira coluna (correspondente a 1) fica \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
a segunda coluna (correspondente a 243) fica 243\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}243\\[4pt]243\end{pmatrix}.
Portanto
P D^{5} = \begin{pmatrix}0 & 243 \\[4pt] 1 & 243\end{pmatrix}.