Dada a matriz A=[cc1 & 3 0 & -1], obtenha: d) A^15.
13. Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB=BA. Calcule os valores de x e y para que as matrizes
A=[ll 1 & 0 1 & 2 ] e B=[ll 7 & x y & 0 ] comutem
  1. Considere a matriz C=ci j de ordem 3 , com ci j=i / j, se i neq j e i^j+2 j, se i=j. Então, determine a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz C .
  2. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A=A^prime. Assim, se a matriz A=[ccc2 & -1 & 2 y x & 0 & -1 4 & 3 & 2] é simétrica, então, qual o valor de x-(y+z) ?
  3. Considere três lojas L1, L2 e L3 e três tipos de produtos p1, p2 e p3. A matriz A descreve a quantidade de cada produto vendido em cada loja numa semana.
    A=[ccc30 & 19 & 20 15 & 10 & 8 12 & 16 & 11]. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto pi vendido pela loja Lj(i, j=1,2,3). Dessa forma, pede-se:
    a) Quantas unidades de p3 a loja L2 vendeu nessa semana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 1 & 3 0 & -1 e precisa calcular A^15. Isso envolve matrizes elevadas a potências, então vamos usar conceitos de álgebra linear, como potência de matrizes e propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a matriz A é uma matriz triangular superior, já que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita bastante o cálculo das potências da matriz.

Passo 3

Para elevar uma matriz triangular superior à potência n, basta elevar cada elemento da diagonal à potência n e ajustar os demais elementos de acordo. No nosso caso, temos:
  • Elemento a11 = 1
  • Elemento a22 = -1
Portanto, A^n = 1^n & * 0 & (-1)^n, onde o * representa um elemento que vamos determinar.

Passo 4

Vamos encontrar uma expressão geral para o elemento a12 após elevar a matriz à potência n. Observando as multiplicações de matrizes, percebemos que o elemento a12 depende da soma das potências de 1 e (-1) multiplicadas pelos elementos anteriores.
Após alguns cálculos (que envolvem progressão geométrica), chegamos à expressão:
a12 = 3 cdot sumk=0^n-1 (1)^k cdot (-1)^n-1-k = 3 cdot 1 - (-1)^n2

Passo 5

Agora, aplicando n = 15:
  • 1^15 = 1
  • (-1)^15 = -1
  • a12 = 3 cdot 1 - (-1)2 = 3 cdot 22 = 3
Então, A^15 = 1 & 3 0 & -1

Resposta

A^15 = 1 & 3 0 & -1

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