Dada a Matriz
A=[ccc 2 & 1 & 3 0 & -1 & 4 ]
Calcule A^T, e verifique suas propriedades…

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transposta de
A= 2 & 1 & 3 0 & -1 & 4
e verificar suas propriedades básicas de transposição, como a definição de elemento, a involutividade l((A^T)^T=Ar) e a preservação do posto.

Passo 2

Pela definição de transposta, (A^T)ij=Aji. Assim, trocamos linhas por colunas em A. Logo
A^T= 2 & 0 1 & -1 3 & 4

Passo 3

Vamos checar alguns elementos de A^T segundo (A^T)ij=Aji:
(A^T)1,2=0=A2,1,
(A^T)3,1=3=A1,3.
Isso confirma que a transposta foi obtida corretamente.

Passo 4

Aplicando a transposição de novo,
(A^T)^T=l( 2 & 0 1 & -1 3 & 4 r)^T = 2 & 1 & 3 0 & -1 & 4 =A
Assim comprovamos a involutividade da transposição.

Passo 5

O posto de A é o número de linhas (ou colunas) independentes. As linhas de A são (2,1,3) e (0,-1,4), claramente independentes, logo rank(A)=2. Como as colunas de A^T são essas mesmas linhas, rank(A^T)=2. Isso mostra que a transposição preserva o posto.

Resposta

A^T= 2 & 0 1 & -1 3 & 4 ,
com as propriedades:
  1. (A^T)ij=Aji.
  2. (A^T)^T=A.
  3. rank(A^T)=rank(A)=2.
  4. A transposição é linear e involutiva.

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