Seja T: V V uma transformação linear. Sabendo-se que dim(V)=5 e dim(N(T) cap Im(T))=2, determine dim(N(T)+Im(T)). A transformação T pode ser injetora? Justifique as respostas.
32. Seja T: M2(R) M2(R), definida por T(llx & y z & w)=(cc2 x & 0 -z & y+w).
I) Determine:
a) N(T) e Im(T).
b) N(T) cap Im(T).
c) dim(N(T)+Im(T)).
II) Verifique se M2(R)=N(T) oplus Im(T).

Passo 1

Temos duas questões sobre transformações lineares. Na primeira, com e sabemos . Queremos usando
e o teorema da dimensão nula-imagem
. Também perguntam se pode ser injetora.
Na segunda, dada por
e precisamos achar , , sua interseção, depois e verificar se
.

Passo 2

Primeiro problema. Pela fórmula de soma de subespaços,
dim(N(T)+Im(T)) =dimN(T)+dimIm(T)-dim(N(T)capIm(T))
Mas pelo teorema nula-imagem dimN(T)+dimIm(T)=5. Subtraindo dim(NcapIm)=2
dim(N(T)+Im(T))=5-2=3
Para T ser injetora teríamos dimN(T)=0, mas aqui N(T)capIm(T) tem dimensão 2>0, logo N(T)neq0 e T não é injetora.

Passo 3

Segundo problema, achando . Queremos
Logo , , , e
que tem dimensão .

Passo 4

Agora é o conjunto de matrizes
. Escrevendo
impõe , e podem ser quaisquer reais. Assim
com dimensão .

Passo 5

A interseção N(T)capIm(T) exige matrizes da forma 0&y0&-y que também tenham segunda coluna nula, ou seja y=0. Só sobra a zero, logo dim(NcapIm)=0. Portanto
dim(N(T)+Im(T)) =1+3-0=4
Como dim M2( R)=4 e a interseção é trivial, concluímos
M2( R)=N(T)oplusIm(T)

Resposta

Primeiro problema:
dim(N(T)+Im(T))=3.
T não pode ser injetora pois N(T)capIm(T)neq0.
Segundo problema:
I) a) N(T)=0 & y 0 & -y, dim=1;
Im(T)=a & 0 c & d, dim=3.
b) N(T)capIm(T)=0.
c) dim(N(T)+Im(T))=4.
II) Sim, M2(R)=N(T)oplusIm(T).

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