Seja uma transformação linear. Sabendo-se que e , determine . A transformação T pode ser injetora? Justifique as respostas.
32. Seja , definida por .
I) Determine:
a) N(T) e Im(T).
b) N(T) cap Im(T).
c) dim(N(T)+Im(T)).
II) Verifique se M2(R)=N(T) oplus Im(T).
Passo 1
Temos duas questões sobre transformações lineares. Na primeira, com e sabemos . Queremos usando
e o teorema da dimensão nula-imagem . Também perguntam se pode ser injetora.
Na segunda, dada por
e precisamos achar , , sua interseção, depois e verificar se .
Passo 2
Primeiro problema. Pela fórmula de soma de subespaços,
Mas pelo teorema nula-imagem dimN(T)+dimIm(T)=5. Subtraindo dim(NcapIm)=2 dá
dim(N(T)+Im(T))=5-2=3
Para T ser injetora teríamos dimN(T)=0, mas aqui N(T)capIm(T) tem dimensão 2>0, logo N(T)neq0 e T não é injetora.
Passo 3
Segundo problema, achando . Queremos
Logo , , , e
que tem dimensão .
Passo 4
Agora é o conjunto de matrizes . Escrevendo
impõe , e podem ser quaisquer reais. Assim
com dimensão .
Passo 5
A interseção N(T)capIm(T) exige matrizes da forma 0&y0&-y que também tenham segunda coluna nula, ou seja y=0. Só sobra a zero, logo dim(NcapIm)=0. Portanto
dim(N(T)+Im(T)) =1+3-0=4
Como dim M2( R)=4 e a interseção é trivial, concluímos
M2( R)=N(T)oplusIm(T)
Resposta
Primeiro problema: dim(N(T)+Im(T))=3. T não pode ser injetora pois N(T)capIm(T)neq0.
Segundo problema:
I) a) N(T)=0 & y 0 & -y, dim=1; Im(T)=a & 0 c & d, dim=3.
b) N(T)capIm(T)=0.
c) dim(N(T)+Im(T))=4.
II) Sim, M2(R)=N(T)oplusIm(T).