4.74: Considere as bases de .
(a) Calcule a matriz mudança de base .
(b) Explique como determinar usando (a). (Não faça as contas.)
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá duas bases de R^2: alpha=(6,11),(2,4) e varepsilon=(1,0),(0,1).
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais: precisamos saber que a matriz de mudança de base de alpha para varepsilon tem colunas iguais às coordenadas dos vetores de alpha na base varepsilon, e que a mudança inversa é dada pela inversa dessa matriz.
Passo 2
Para calcular [I]varepsilonalpha, basta colocar na primeira coluna as coordenadas de (6,11) em varepsilon e na segunda coluna as de (2,4) em varepsilon. Logo,
[I]varepsilonalpha = 6 & 2 11 & 4
Passo 3
Para determinar [I]alphavarepsilon sem fazer contas, usamos o fato de que as matrizes de mudança de base mútuas são inversas entre si. Assim,
[I]alphavarepsilon =l([I]varepsilonalphar)^-1
Passo 4
Verificando a inversa de A=6&211&4:
o determinante é det A=6cdot4-2cdot11=24-22=2,
a adjunta (matriz de cofatores transposta) é 4&-2-11&6,
logo
A^-1 =tfrac124&-2-11&6 =2&-1-11/2&3,
confirmando o resultado dado.
Resposta
(a)
[I]varepsilonalpha = 6 & 2 11 & 4
(b) [I]alphavarepsilon é simplesmente a inversa de [I]varepsilonalpha, pois mudança de base inversa corresponde à inversa da matriz.