Dada uma matriz A, determine se ela representa uma transformação linear. Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz only: “Dada uma matriz A, determine se ela representa uma transformação linear.” Não há entradas específicas da matriz (nenhum A numérico foi fornecido). O que é pedido: dar uma resposta clara se a matriz A representa (ou não) uma transformação linear e explicar por quê. Informações relevantes disponíveis: apenas que existe uma matriz A (de dimensão não especificada) — nada mais.

Passo 2

Vamos esclarecer o que significa “uma matriz representa uma transformação linear” — sem pular etapas. Uma transformação T entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todos vetores u,v e todo escalar c:
\text{(i) } T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad\text{(ii) } T(cu)=c\,T(u).
Dizer que uma matriz representa uma transformação linear normalmente quer dizer que existe uma aplicação T definida por multiplicação por A, ou seja,
T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m,\qquad T(x)=A x,
onde \mathbb{F} é o corpo dos escalares (por exemplo \mathbb{R}) e A é uma matriz m\times n. Nosso objetivo é então verificar se essa aplicação T(x)=Ax satisfaz (i) e (ii).

Passo 3

Prova da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v). Seja A uma matriz m\times n e u,v\in\mathbb{F}^n. Pela definiçã o da multiplicação matriz-vetor, as entradas de A(u+v) são combinações lineares das entradas de u+v. Usando a distributividade da multiplicação por somas:
A(u+v)=A u + A v.
Uma forma mais “elementar” de ver isso: escreva A por colunas A=[a_1\\ \dots\\ a_n] e u=(u_1,\dots,u_n)^\top, v=(v_1,\dots,v_n)^\top. Então
A(u+v)=\sum_{j=1}^n a_j (u_j+v_j)=\sum_{j=1}^n a_j u_j + \sum_{j=1}^n a_j v_j = Au+Av.
Portanto a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Prova da homogeneidade T(cu)=c\,T(u). Seja c\in\mathbb{F} e u\in\mathbb{F}^n. Pela propriedade da multiplicação por escalar em cada entrada (associatividade escala-matriz):
A(cu)=c\,(Au).
Novamente, em colunas: A(cu)=\sum_{j=1}^n a_j (c u_j)=c\sum_{j=1}^n a_j u_j = c (Au). Assim a homogeneidade também vale.

Passo 5

Concluímos que a aplicação T(x)=Ax satisfaz ambas as propriedades de linearidade para todos u,v e todos escalares c. Logo, toda matriz A (de dimensão m\times n sobre um corpo \mathbb{F}) determina uma transformação linear T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m.

Passo 6

Observações práticas (dicas de prova e pegadinhas):
  • Em provas, uma verificação rápida: se T for dada por T(x)=Ax+b com b\neq 0, então T NÃO é linear (é afim), porque T(0)=b\neq 0. Portanto cuidado: multiplicação por matriz é linear, mas somar um termo constante estraga a linearidade.
  • Outra forma rápida de testar linearidade: verificar T(0)=0 e homogeneidade; se T(0)\neq 0 está resolvido (não linear).
  • Se a matriz A representa uma transformação entre espaços vetoriais abstratos, isso presume que foram escolhidas bases — nesse caso a matriz representa a transformação linear relativa a essas bases. O ponto essencial continua: multiplicação por matriz = operação linear.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar (faça na prova se pedir um exemplo): seja
A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}.
Então T(x)=Ax=(2x_1,3x_2)^\top. Verifica-se imediatamente que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u), então T é linear — um exemplo claro e fácil de calcular à mão.

Resposta

Sim. Qualquer matriz A (de dimensão m\times n sobre um corpo) representa uma transformação linear T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m dada por T(x)=Ax.

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