Dada uma matriz
, determine se ela representa uma transformação linear. Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz only: “Dada uma matriz
, determine se ela representa uma transformação linear.” Não há entradas específicas da matriz (nenhum
numérico foi fornecido). O que é pedido: dar uma resposta clara se a matriz
representa (ou não) uma transformação linear e explicar por quê. Informações relevantes disponíveis: apenas que existe uma matriz
(de dimensão não especificada) — nada mais.
Passo 2
Vamos esclarecer o que significa “uma matriz representa uma transformação linear” — sem pular etapas. Uma transformação
entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todos vetores
e todo escalar
:
Dizer que uma matriz representa uma transformação linear normalmente quer dizer que existe uma aplicação
definida por multiplicação por
, ou seja,
onde
é o corpo dos escalares (por exemplo
) e
é uma matriz
. Nosso objetivo é então verificar se essa aplicação
satisfaz (i) e (ii).
Passo 3
Prova da aditividade
. Seja
uma matriz
e
. Pela definiçã o da multiplicação matriz-vetor, as entradas de
são combinações lineares das entradas de
. Usando a distributividade da multiplicação por somas:
Uma forma mais “elementar” de ver isso: escreva
por colunas
e
,
. Então
Portanto a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Prova da homogeneidade
. Seja
e
. Pela propriedade da multiplicação por escalar em cada entrada (associatividade escala-matriz):
Novamente, em colunas:
. Assim a homogeneidade também vale.
Passo 5
Concluímos que a aplicação
satisfaz ambas as propriedades de linearidade para todos
e todos escalares
. Logo, toda matriz
(de dimensão
sobre um corpo
) determina uma transformação linear
.
Passo 6
Observações práticas (dicas de prova e pegadinhas):
- Em provas, uma verificação rápida: se
for dada por com , então NÃO é linear (é afim), porque . Portanto cuidado: multiplicação por matriz é linear, mas somar um termo constante estraga a linearidade. - Outra forma rápida de testar linearidade: verificar
e homogeneidade; se está resolvido (não linear). - Se a matriz
representa uma transformação entre espaços vetoriais abstratos, isso presume que foram escolhidas bases — nesse caso a matriz representa a transformação linear relativa a essas bases. O ponto essencial continua: multiplicação por matriz = operação linear.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar (faça na prova se pedir um exemplo): seja
Então
. Verifica-se imediatamente que
e
, então
é linear — um exemplo claro e fácil de calcular à mão.
Resposta
Sim. Qualquer matriz
(de dimensão
sobre um corpo) representa uma transformação linear
dada por
.