Encontre a matriz de uma transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{3} que leva o vetor (1,0) em (2,1,0) e o vetor (0,1) em (1,3,0).
Passo 1
O enunciado dá explicitamente as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^2:
(1,0) é levado em (2,1,0).
(0,1) é levado em (1,3,0).
O que se pede: encontrar a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 (na base padrão de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3) que realiza essas imagens.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 é totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base padrão de \mathbb{R}^2, que são \,(1,0) e (0,1).
Se escrevemos a matriz de T como A, de dimensões 3\times2, então as colunas de A são exatamente T(1,0) e T(0,1), nessa ordem. Em símbolos:
Assim fica fácil checar que A realmente envia (1,0) em (2,1,0) e (0,1) em (1,3,0). Isso é tudo que a prova pede: escrever a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base.]