Encontre a matriz de uma transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{3} que leva o vetor (1,0) em (2,1,0) e o vetor (0,1) em (1,3,0).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^2:
  • (1,0) é levado em (2,1,0).
  • (0,1) é levado em (1,3,0).
O que se pede: encontrar a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 (na base padrão de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3) que realiza essas imagens.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 é totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base padrão de \mathbb{R}^2, que são \,(1,0) e (0,1).
Se escrevemos a matriz de T como A, de dimensões 3\times2, então as colunas de A são exatamente T(1,0) e T(0,1), nessa ordem. Em símbolos:
A=\begin{pmatrix} \text{coluna}_1 & \text{coluna}_2 \end{pmatrix} \qquad\text{com}\qquad \text{coluna}_1 = T(1,0),\quad \text{coluna}_2 = T(0,1).
Justificativa curta: para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale
(x,y)=x(1,0)+y(0,1),
e pela linearidade
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1),
o que coincide com multiplicar a matriz A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplico isso aos dados do enunciado (peguei estes vetores diretamente do enunciado):
T(1,0)=(2,1,0),\qquad T(0,1)=(1,3,0).
Portanto as colunas da matriz A são essas imagens, na ordem:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação e uso prático (como fazer na prova): para um vetor genérico (x,y) tem-se
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\\[4pt] x+3y\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Assim fica fácil checar que A realmente envia (1,0) em (2,1,0) e (0,1) em (1,3,0). Isso é tudo que a prova pede: escrever a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

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