Seja T: P_{2} \rightarrow P_{2} uma transformação linear que leva p(x) em p^{\prime}(x), a derivada de p(x). Encontre a matriz de T em relação à base canônica de P_{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}\to P_{2} que leva cada polinômio p(x) em sua derivada p'(x). Pede-se a matriz de T em relação à base canônica de P_{2}.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Espaço: P_{2} = polinômios de grau menor ou igual a 2.
  • Transformação: T(p)=p'.
  • Base canônica (ordem escolhida): \{1,\;x,\;x^{2}\}.
  • Objetivo: encontrar a matriz de T relativa a essa base.
Observação importante sobre coordenadas: um polinômio genérico em P_{2} será escrito como
p(x)=a + b x + c x^{2},
onde a,b,c são os coeficientes (essas ficam sendo as coordenadas de p na base \{1,x,x^{2}\}). A matriz de T terá colunas iguais às coordenadas de T aplicadas aos vetores da base, nessa ordem.

Passo 2

Vamos calcular as imagens dos vetores da base pela transformação T. Para isso usamos a regra de derivação básica (regra do expoente).
Mini-aula rápida (regra do expoente):
  • Para qualquer inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e o resultado é n vezes x elevado a n-1. Exemplos: \dfrac{d}{dx}1=0, \dfrac{d}{dx}x=1, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
Aplicando isso aos vetores da base:
  • T(1)=\dfrac{d}{dx}(1)=0.
  • T(x)=\dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • T(x^{2})=\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Expliquei passo a passo: constante some, x vira 1, e x^{2} vira 2x pela regra do expoente.

Passo 3

Agora escrevemos cada imagem como combinação linear da base \{1,x,x^{2}\} e extraímos as coordenadas (coeficientes na ordem 1,x,x^{2}).
  • Para T(1)=0 temos coordenadas
[T(1)]_{\text{base}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para T(x)=1 temos coordenadas
[T(x)]_{\text{base}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois 1=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^{2}.
  • Para T(x^{2})=2x temos coordenadas
[T(x^{2})]_{\text{base}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois 2x=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^{2}.]

Passo 4

A matriz de T na base \{1,x,x^{2}\} é obtida colocando essas coordenadas como colunas, na ordem correspondente aos vetores da base. Assim a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é [T(1)]_{\text{base}}, a segunda é [T(x)]_{\text{base}} e a terceira é [T(x^{2})]_{\text{base}}.
Verificação rápida (aplicação a um polinômio genérico): para p(x)=a+bx+cx^{2} a coordenada é \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}. Então
A\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\[4pt]2c\\[4pt]0\end{pmatrix},
que corresponde ao polinômio b + 2c x, exatamente p'(x). Tudo confere.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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