Seja T: P_{2} \rightarrow P_{2} uma transformação linear que leva p(x) em p^{\prime}(x), a derivada de p(x). Encontre a matriz de T em relação à base canônica de P_{2}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}\to P_{2} que leva cada polinômio p(x) em sua derivada p'(x). Pede-se a matriz de T em relação à base canônica de P_{2}.
Informações fornecidas e o que é pedido:
Espaço: P_{2} = polinômios de grau menor ou igual a 2.
Transformação: T(p)=p'.
Base canônica (ordem escolhida): \{1,\;x,\;x^{2}\}.
Objetivo: encontrar a matriz de T relativa a essa base.
Observação importante sobre coordenadas: um polinômio genérico em P_{2} será escrito como
p(x)=a + b x + c x^{2},
onde a,b,c são os coeficientes (essas ficam sendo as coordenadas de p na base \{1,x,x^{2}\}). A matriz de T terá colunas iguais às coordenadas de T aplicadas aos vetores da base, nessa ordem.
Passo 2
Vamos calcular as imagens dos vetores da base pela transformação T. Para isso usamos a regra de derivação básica (regra do expoente).
Mini-aula rápida (regra do expoente):
Para qualquer inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e o resultado é n vezes x elevado a n-1. Exemplos: \dfrac{d}{dx}1=0, \dfrac{d}{dx}x=1, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
Aplicando isso aos vetores da base:
T(1)=\dfrac{d}{dx}(1)=0.
T(x)=\dfrac{d}{dx}(x)=1.
T(x^{2})=\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Expliquei passo a passo: constante some, x vira 1, e x^{2} vira 2x pela regra do expoente.
Passo 3
Agora escrevemos cada imagem como combinação linear da base \{1,x,x^{2}\} e extraímos as coordenadas (coeficientes na ordem 1,x,x^{2}).