Dada uma matriz
, dizemos que uma matrix
comuta com
se
. Determine todas as matrizes que comutam com
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes
Xin M2(K) (onde
K é o corpo considerado, por exemplo
R ) tais que
sendo
O conteúdo aqui é o centralizador de uma matriz diagonal com autovalores distintos.
Passo 2
Suponha uma matriz genérica
Calculamos
Passo 3
Igualando
AX=XA termo a termo, obtemos as equações
que só se satisfazem se
Não há restrição sobre
x11 e
x22 .
Passo 4
Portanto, todas as matrizes que comutam com
A são exatamente as matrizes diagonais no mesmo referencial:
com
x11,x22in K .
Resposta
Todas as matrizes da forma
com
a,d arbitrários no corpo considerado.