Dada uma matriz A, dizemos que uma matrix X comuta com A se A X=X A. Determine todas as matrizes que comutam com
A=(ll 1 & 0 0 & 3 )

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(K) (onde K é o corpo considerado, por exemplo R) tais que
AX = XA,
sendo
A = 1&00&3
O conteúdo aqui é o centralizador de uma matriz diagonal com autovalores distintos.

Passo 2

Suponha uma matriz genérica
Calculamos

Passo 3

Igualando AX=XA termo a termo, obtemos as equações
x12 = 3x12, 3x21 = x21,
que só se satisfazem se
x12=0 e x21=0
Não há restrição sobre x11 e x22.

Passo 4

Portanto, todas as matrizes que comutam com A são exatamente as matrizes diagonais no mesmo referencial:
X = x11&00&x22,
com x11,x22in K.

Resposta

Todas as matrizes da forma
X=a&00&d,
com a,d arbitrários no corpo considerado.

Exercícios relacionados