(a) Obtenha , onde .
(b) Mostre que (A+B)^t=A^t+B^t e (k A^t)=k A^t, onde A e B são matrizes quaisquer de mesma ordem e k in R.
(c) Se A é uma matriz de ordem m times n e B é uma matriz de ordem n times p, prove que (A B)^t=B^t A^t.
(d) Mostre que (A^t)^t=A para toda matriz A.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas à transposta de matrizes:
(a) calcular a transposta de A;
(b) mostrar que a transposta é linear, isto é, (A+B)^t=A^t+B^t e l(kAr)^t=k,A^t;
(c) provar que (AB)^t=B^tA^t;
(d) mostrar que a operação é involutiva, ou seja, l(A^tr)^t=A.
Vamos usar a definição l(A^tr)ij=Aji e manipular índices para cada propriedade.
Passo 2
Para (a), seja
A= 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4
Pela definição da transposta, trocamos linhas por colunas:
A^t= 1 & 0 2 & -1 3 & 4
Passo 3
Para (b), usemos índices genéricos. Se A e B têm mesma ordem, então
(A+B)^tij=(A+B)ji=Aji+Bji=(A^t)ij+(B^t)ij,
logo (A+B)^t=A^t+B^t. De modo semelhante, para kinR,