Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[cc1 & 2 3 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalhar com a matriz A de tamanho 2 times 2 :
A = 1 & 2 3 & -1
Vamos precisar entender sobre imagem de A ( im A) e núcleo de A ( NA). Além disso, vamos verificar a relação entre o posto de A ( rho(A)) e a nulidade de A ( nu(A)). Tudo isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente na teoria dos espaços vetoriais e seus subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A . As colunas de A são:
c1 = 1 3 , c2 = 2 -1
Queremos saber se essas colunas são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base para im A.

Passo 3

Para verificar a independência linear, verificamos se a única solução para [a\mathbf{c}_1 + b\mathbf{c}_2 = \mathbf{0}) é . Escrevendo isso:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Subtraímos a segunda equação:
Substituindo (b = 0] na primeira equação:
Como a única solução é , as colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Como as colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para im A. Portanto:
Base para im A: 1 3 , 2 -1

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de A , NA , que consiste em todos os vetores x tal que Ax = 0 . Ou seja:
1 & 2 3 & -1 x1 x2 = 0 0
Isso gera o sistema:
x1 + 2x2 = 0 3x1 - x2 = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
x1 = -2x2
Substituindo na segunda equação:
3(-2x2) - x2 = 0 Rightarrow -6x2 - x2 = 0 Rightarrow -7x2 = 0 Rightarrow x2 = 0
Então, x1 = 0 . A única solução é x = 0 0 .

Passo 7

Como a única solução é o vetor nulo, o núcleo de A contém apenas o vetor zero. Isso significa que a base para NA é:
Base para NA: 0
Na verdade, isso indica que NA é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.

Passo 8

Agora, vamos verificar a relção entre o posto de A ( rho(A)) e a nulidade de A ( nu(A)), que deve satisfazer:
rho(A) + nu(A) = n
Aqui, n = 2 (número de colunas de A ).

Passo 9

Calculando:
  • O posto de A , rho(A) , é a dimensão da imagem de A . Como temos duas colunas linearmente independentes, rho(A) = 2 .
  • A nulidade de A , nu(A) , é a dimensão do núcleo de A . Como NA contém apenas o vetor zero, nu(A) = 0 .
Então:
rho(A) + nu(A) = 2 + 0 = 2 = n
O que confirma a relação.

Resposta

Base para im A: 1 3 , 2 -1
Base para NA: 0
rho(A) + nu(A) = 2 + 0 = 2 = n

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