Dada a matriz .
i. Calcule uma base para e para .
ii. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalhar com a matriz A de tamanho 2 times 2 :
A = 1 & 2 3 & -1
Vamos precisar entender sobre imagem de A (im A) e núcleo de A (NA). Além disso, vamos verificar a relação entre o posto de A (rho(A)) e a nulidade de A (nu(A)). Tudo isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente na teoria dos espaços vetoriais e seus subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A . As colunas de A são:
c1 = 1 3 , c2 = 2 -1
Queremos saber se essas colunas são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base para im A.
Passo 3
Para verificar a independência linear, verificamos se a única solução para [a\mathbf{c}_1 + b\mathbf{c}_2 = \mathbf{0}) é . Escrevendo isso:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Subtraímos a segunda equação:
Substituindo (b = 0] na primeira equação:
Como a única solução é , as colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Como as colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para im A. Portanto:
Base para im A: 1 3 , 2 -1
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de A , NA , que consiste em todos os vetores x tal que Ax = 0 . Ou seja: