Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[ccc5 & -4 & 2 -10 & 8 & -4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem uma matriz A de dimensão 2 times 3 e precisa:
i. Calcular uma base para a imagem de A ( im A ) e para o núcleo de A ( NA ).
ii. Verificar que a soma do posto de A ( rho(A) ) com a nulidade de A ( nu(A) ) é igual ao número de colunas de A , que é n = 3 .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem e núcleo de uma matriz, além de trabalhar com operações de linha para simplificar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de A , que basicamente é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A . Para isso, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.
Nossa matriz é:
A = 5 & -4 & 2 -10 & 8 & -4
Vamos observar que a segunda coluna é -45 vezes a primeira coluna e a terceira coluna é 25 vezes a primeira coluna. Isso significa que todas as colunas são múltiplos da primeira coluna, indicando que o posto de A é 1. Portanto, a imagem de A é gerada pela primeira coluna.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de [A), que é o conjunto de todos os vetores que satisfazem .
Escrevendo o sistema:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por (-2]:
Perceba que as duas equações são iguais, então temos apenas uma equação com três incógnitas. Vamos expressar em função de e :
Podemos escolher e , onde e são parâmetros. Assim, a solução geral é:
Então, uma base para o núcleo de é formada pelos vetores:

Passo 4

Agora, vamos verificar que rho(A) + nu(A) = n , onde n = 3 .
Sabemos que:
  • O posto rho(A) é 1 (número de colunas independentes).
  • A nulidade nu(A) é o número de vetores na base do núcleo, que são 2.
Portanto:
rho(A) + nu(A) = 1 + 2 = 3 = n

Resposta

Uma base para im A é 5 -10 e uma base para NA é 45 1 0 , -25 0 1 . Além disso, verificamos que rho(A) + nu(A) = 3 , que é igual ao número de colunas de A .

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