Problema 2 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
A=(lll1 & 0 & 0 0 & 2 & 3 0 & 3 & 2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 3 0 & 3 & 2 . Depois disso, vamos verificar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos como determinantes, polinômio característico e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Isso significa que precisamos encontrar os valores de lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 3 0 & 3 & 2 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det2 - lambda & 3 3 & 2 - lambda - 0 + 0
Já que as outras entradas da primeira linha são zero, simplificamos a conta.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 2 times 2 :
det2 - lambda & 3 3 & 2 - lambda = (2 - lambda)(2 - lambda) - 3 cdot 3 = (2 - lambda)^2 - 9

Passo 6

Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(2 - lambda)^2 - 9]
Vamos expandir o termo dentro dos colchetes:
(2 - lambda)^2 = 4 - 4lambda + lambda^2
Então:
(4 - 4lambda + lambda^2) - 9 = lambda^2 - 4lambda - 5

Passo 7

Portanto, a equação característica fica:
(1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 5) = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de lambda .

Passo 8

Primeiro, igualamos cada fator a zero:
  1. 1 - lambda = 0 lambda = 1
  2. lambda^2 - 4lambda - 5 = 0
Para a segunda equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Então:
lambda2 = 4 + 62 = 5 e lambda3 = 4 - 62 = -1

Passo 9

Agora que temos os autovalores: lambda1 = 1 , lambda2 = 5 e lambda3 = -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.

Passo 10

Para cada [\lambda), resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação: (v_2 = -3v_3]. Da terceira equação:
Assim, o autovetor é da forma . Podemos escolher , então:

Passo 11

Para [\lambda = 5):
Resolvendo:
Da primeira equação: . Assim, o autovetor é da forma . Podemos escolher , então:

Passo 12

Para [\lambda = -1):
Resolvendo:
Da primeira equação: . Assim, o autovetor é da forma . Podemos escolher , então:

Passo 13

Agora, temos os autovalores e seus respectivos autovetores:
lambda1 = 1, & v1 = 1 0 0 lambda2 = 5, & v2 = 0 1 1 lambda3 = -1, & v3 = 0 1 -1

Passo 14

Para determinar se a matriz é diagonalizável, verificamos se ela possui um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme uma base para o espaço. Como temos três autovalores distintos com três autovetores correspondentes, eles são linearmente independentes.

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 1 , lambda2 = 5 e lambda3 = -1 , com respectivos autovetores:
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 1, v3 = 0 1 -1
Além disso, a matriz A é diagonalizável.

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