Dada a matriz .
i. Calcule uma base para e para .
ii. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício é de Álgebra Linear e envolve matrizes. Precisamos calcular uma base para a imagem da matriz A e para o núcleo de A , além de verificar uma relação importante entre o posto e a nulidade da matriz. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A , que é o espaço gerado pelas colunas de A . O jeito mais fácil de fazer isso é trazer a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações de linha, assim identificamos quais colunas são pivot (ou seja, que contêm os pivôs) e, consequentemente, quais colunas são parte da base da imagem.
Agora, a matriz está em forma escalonada por linhas. Os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Isso significa que as colunas 1 e 2 de A são lineares independentes e formam uma base para a imagem de A .
Então, uma base para im A é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 0 2 , 2 5 -1
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de [A), denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Para encontrar isso, vamos resolver o sistema homogêneo correspondente.
A forma escalonada da matriz é:
Vamos traduzir isso para um sistema de equações:
Podemos expressar as variáveis livres. Vamos escolher , e como variáveis livres.
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo :
Simplificando:
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de , e :
Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para (N_A] é formada por:
Passo 4
Agora, vamos verificar a relação rho(A) + nu(A) = n , onde:
rho(A) é o posto de A , que é o número de pivôs na forma escalonada. Vimos que rho(A) = 2 .
nu(A) é a nulidade de A , que é a dimensão do núcleo. Encontramos 3 vetores na base de NA , então nu(A) = 3 .
n é o número de colunas de A , que é 5.
Vamos calcular:
rho(A) + nu(A) = 2 + 3 = 5 = n
Resposta
Uma base para im A é:
1 0 2 , 2 5 -1
E uma base para NA é:
-75 -45 1 0 0 , -2 0 0 1 0 , -75 15 0 0 1
Além disso, confirmamos que rho(A) + nu(A) = 5 , que é igual ao número de colunas de A .