Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[ccccc1 & 2 & 3 & 2 & 1 0 & 5 & 4 & 0 & -1 2 & -1 & 2 & 4 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício é de Álgebra Linear e envolve matrizes. Precisamos calcular uma base para a imagem da matriz A e para o núcleo de A , além de verificar uma relação importante entre o posto e a nulidade da matriz. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A , que é o espaço gerado pelas colunas de A . O jeito mais fácil de fazer isso é trazer a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações de linha, assim identificamos quais colunas são pivot (ou seja, que contêm os pivôs) e, consequentemente, quais colunas são parte da base da imagem.
A matriz A é:
A = 1 & 2 & 3 & 2 & 1 0 & 5 & 4 & 0 & -1 2 & -1 & 2 & 4 & 3
Vamos usar operações de linha para simplificar:
  1. Já temos um 1 na posição (1,1). Vamos usar a linha 1 para eliminar o 2 na posição (3,1).
  2. Linha3 = Linha3 - 2 times Linha1 :
1 & 2 & 3 & 2 & 1 0 & 5 & 4 & 0 & -1 0 & -5 & -4 & 0 & 1
  1. Agora, somamos a linha 2 com a linha 3 para eliminar o -5 na posição (3,2):
1 & 2 & 3 & 2 & 1 0 & 5 & 4 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Agora, a matriz está em forma escalonada por linhas. Os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Isso significa que as colunas 1 e 2 de A são lineares independentes e formam uma base para a imagem de A .
Então, uma base para im A é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 0 2 , 2 5 -1

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de [A), denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Para encontrar isso, vamos resolver o sistema homogêneo correspondente.
A forma escalonada da matriz é:
Vamos traduzir isso para um sistema de equações:
Podemos expressar as variáveis livres. Vamos escolher , e como variáveis livres.
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo :
Simplificando:
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de , e :
Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para (N_A] é formada por:

Passo 4

Agora, vamos verificar a relação rho(A) + nu(A) = n , onde:
  • rho(A) é o posto de A , que é o número de pivôs na forma escalonada. Vimos que rho(A) = 2 .
  • nu(A) é a nulidade de A , que é a dimensão do núcleo. Encontramos 3 vetores na base de NA , então nu(A) = 3 .
  • n é o número de colunas de A , que é 5.
Vamos calcular:
rho(A) + nu(A) = 2 + 3 = 5 = n

Resposta

Uma base para im A é:
1 0 2 , 2 5 -1
E uma base para NA é:
-75 -45 1 0 0 , -2 0 0 1 0 , -75 15 0 0 1
Além disso, confirmamos que rho(A) + nu(A) = 5 , que é igual ao número de colunas de A .

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