Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[cccc1 & 3 & 2 & 0 2 & 5 & 2 & 1 -1 & 7 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de dimensão 3 times 4 . O exercício pede duas coisas:
  1. Encontrar uma base para a imagem de A ( im A ) e para o núcleo de A ( NA ).
  2. Verificar que a soma do posto de A ( rho(A) ) com a nulidade de A ( nu(A) ) é igual ao número de colunas de A , ou seja, n .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear como espaços coluna, espaço nulo, postagem e o Teorema do Posto (também conhecido como Teorema da Dimensão).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A . A imagem de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A . Para achar uma base, precisamos identificar as colunas que são linearmente independentes.
Vamos escrever a matriz A :
A = 1 & 3 & 2 & 0 2 & 5 & 2 & 1 -1 & 7 & 1 & -1

Passo 3

Para verificar a independência das colunas, podemos montar a matriz das colunas e fazer uma redução de linha (usando o Método de Gauss). Se uma coluna não puder ser escrita como combinação das anteriores, ela faz parte da base.
Vamos organizar as colunas como vetores:
c1 = 1 2 -1 , c2 = 3 5 7 , c3 = 2 2 1 , c4 = 0 1 -1
Vamos ver se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação das anteriores.

Passo 4

Assumindo que c1 e c2 são independentes (vamos checar):
  • Tentamos expressar c3 como ac1 + bc2 :
2 = a cdot 1 + b cdot 3 2 = a + 3b (1) 2 = a cdot 2 + b cdot 5 2 = 2a + 5b (2) 1 = a cdot (-1) + b cdot 7 1 = -a + 7b (3)
Resolvendo as equações (1) e (2):
Da equação (1): a = 2 - 3b
Substituindo na equação (2):
2 = 2(2 - 3b) + 5b 2 = 4 - 6b + 5b 2 = 4 - b b = 2
Então, a = 2 - 3(2) = 2 - 6 = -4
Verificando na equação (3):
1 = -(-4) + 7(2) 1 = 4 + 14 1 = 18 (não é verdade) ãé
Então, c3 não pode ser escrita como combinação de c1 e c2 . Portanto, c3 também faz parte da base.

Passo 5

Agora, vamos verificar a coluna c4 :
Tentamos expressar c4 como combinação das colunas anteriores:
0 = a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot 2 0 = a + 3b + 2c (1) 1 = a cdot 2 + b cdot 5 + c cdot 2 1 = 2a + 5b + 2c (2) -1 = a cdot (-1) + b cdot 7 + c cdot 1 -1 = -a + 7b + c (3)
Resolvendo o sistema:
Da equação (1): a = -3b - 2c
Substituindo na equação (2):
1 = 2(-3b - 2c) + 5b + 2c 1 = -6b -4c +5b +2c 1 = -b -2c b = -1 -2c (4)
Substituindo a e b na equação (3):
-1 = -(-3(-1 -2c) -2c) + 7(-1 -2c) + c -1 = 3(1 + 2c) -2c -7 -14c + c -1 = 3 + 6c -2c -7 -14c + c -1 = -4 -9c -1 +4 = -9c 3 = -9c c = -13
Então, b = -1 -2(-13) = -1 + 23 = -13
E a = -3(-13) -2(-13) = 1 + 23 = 53
Portanto, conseguimos expressar c4 como combinação de c1 , c2 e c3 . Isso significa que c4 não adiciona nada novo à base.

Passo 6

Então, uma base para im A são as colunas c1 , c2 e c3 :
im A = c1, c2, c3
Ou seja,
im A = 12-1, 357, 221

Passo 7

Agora, vamos encontrar o núcleo de A , NA . O núcleo é o conjunto de vetores x tais que Ax = 0 .
Vamos resolver o sistema homogêneo:
1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 = 0 2x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = 0 -1x1 + 7x2 + 1x3 -1x4 = 0
Vamos montar a matriz aumentada e fazer a redução:
[cccc|c 1 & 3 & 2 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 1 & 0 -1 & 7 & 1 & -1 & 0 ]

Passo 8

Primeiro, vamos eliminar abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
  • Linha 2: L2 - 2L1
  • Linha 3: L3 + L1
[cccc|c 1 & 3 & 2 & 0 & 0 0 & -1 & -2 & 1 & 0 0 & 10 & 3 & -1 & 0 ]

Passo 9

Agora, vamos eliminar abaixo do segundo pivô (-1 na posição (2,2)):
  • Linha 3: L3 + 10L2
[cccc|c 1 & 3 & 2 & 0 & 0 0 & -1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & -17 & 9 & 0 ]

Passo 10

Agora, temos a matriz triangular. Vamos expressar as equações:
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 - x2 -2x3 + x4 = 0 -17x3 + 9x4 = 0
Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 11

Da terceira equação:
-17x3 + 9x4 = 0 Rightarrow x3 = 917x4
Substituindo na segunda equação:
- x2 -2(917x4) + x4 = 0 - x2 - 1817x4 + x4 = 0 - x2 - 117x4 = 0 Rightarrow x2 = -117x4
Agora, substituindo x2 e x3 na primeira equação:
x1 + 3(-117x4) + 2(917x4) = 0 x1 - 317x4 + 1817x4 = 0 x1 + 1517x4 = 0 Rightarrow x1 = -1517x4

Passo 12

Vamos definir x4 = t , onde t é um parâmetro livre. Então, todas as variáveis são expressas em termos de t :
x1 = -1517t, x2 = -117t, x3 = 917t, x4 = t
Podemos escrever o vetor x como:
x = t cdot -1517 -117 917 1
Então, uma base para NA é o vetor:
NA = -1517 -117 917 1

Passo 13

Agora, vamos verificar que rho(A) + nu(A) = n . Sabemos que:
  • rho(A) é o posto de A , ou seja, o número de colunas independentes na imagem. Aqui, temos 3 colunas na base da imagem, então rho(A) = 3 .
  • nu(A) é a nulidade de A , que é a dimensão do núcleo. Temos 1 vetor na base do núcleo, então nu(A) = 1 .
  • n é o número de colunas de A , que é 4.
Vamos somar rho(A) + nu(A) :
3 + 1 = 4
E, de fato, isso é igual a n = 4 . Então, a igualdade está confirmada.

Resposta

i. Uma base para im A é:
12-1, 357, 221
E uma base para NA é:
-1517 -117 917 1
ii. Verificamos que rho(A) + nu(A) = 3 + 1 = 4 = n .

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