Dada a matriz .
i. Calcule uma base para e para .
ii. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de dimensão 3 times 4 . O exercício pede duas coisas:
Encontrar uma base para a imagem de A ( im A ) e para o núcleo de A ( NA ).
Verificar que a soma do posto de A ( rho(A) ) com a nulidade de A ( nu(A) ) é igual ao número de colunas de A , ou seja, n .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear como espaços coluna, espaço nulo, postagem e o Teorema do Posto (também conhecido como Teorema da Dimensão).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para a imagem de A . A imagem de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A . Para achar uma base, precisamos identificar as colunas que são linearmente independentes.
Vamos escrever a matriz A :
A = 1 & 3 & 2 & 0 2 & 5 & 2 & 1 -1 & 7 & 1 & -1
Passo 3
Para verificar a independência das colunas, podemos montar a matriz das colunas e fazer uma redução de linha (usando o Método de Gauss). Se uma coluna não puder ser escrita como combinação das anteriores, ela faz parte da base.