Dada a matriz .
i. Calcule uma base para e para .
ii. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para trabalharmos com uma matriz A de dimensão 4 times 3 . Precisamos encontrar uma base para a imagem de A (também chamada de espaço coluna) e para o núcleo de A (ou espaço nulo). Além disso, vamos verificar a relação entre o posto de A ( rho(A) ), a nulidade ( nu(A) ) e o número de colunas da matriz ( n ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como redução de matrizes e o Teorema da Dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 1 & -2 & -1 2 & -1 & 3 7 & -8 & 3 5 & -7 & 0
Nossa meta é simplificar essa matriz para encontrar o posto e o núcleo. Vamos fazer isso usando operações elementares para reduzir A a uma forma escalonada.
Passo 3
Vamos realizar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Começamos com a primeira coluna:
O primeiro elemento da primeira coluna já é 1, ótimo.
Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora que a matriz está reduzida, podemos identificar o posto rho(A) como o número de linhas não nulas, que é 2. Isso significa que a imagem de A tem dimensão 2.
Para encontrar uma base para im A , pegamos os vetores coluna correspondentes aos pivôs. No caso, as duas primeiras colunas da matriz original:
1 2 7 5 e -2 -1 -8 -7
Portanto, uma base para im A é:
1 2 7 5, -2 -1 -8 -7
Passo 7
Para encontrar o núcleo [N_A), precisamos resolver a equação . A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
Vamos expressar as variáveis livres. Aqui, .
Então:
Podemos escrever a solução como:
Portanto, uma base para é:
Passo 8
Agora, vamos verificar se rho(A) + nu(A) = n , onde n é o número de colunas da matriz A .
Já sabemos que:
rho(A) = 2 nu(A) = 1 n = 3
Calculando:
2 + 1 = 3
Portanto, a igualdade rho(A) + nu(A) = n é satisfeita.
Resposta
Encontramos que uma base para im A é composta pelos vetores 1 2 7 5 e -2 -1 -8 -7 , e uma base para NA é o vetor -73 -53 1 . Além disso, verificamos que rho(A) + nu(A) = 3 , confirmando que 2 + 1 = 3 .