Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[ccc1 & -2 & -1 2 & -1 & 3 7 & -8 & 3 5 & -7 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para trabalharmos com uma matriz A de dimensão 4 times 3 . Precisamos encontrar uma base para a imagem de A (também chamada de espaço coluna) e para o núcleo de A (ou espaço nulo). Além disso, vamos verificar a relação entre o posto de A ( rho(A) ), a nulidade ( nu(A) ) e o número de colunas da matriz ( n ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como redução de matrizes e o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 1 & -2 & -1 2 & -1 & 3 7 & -8 & 3 5 & -7 & 0
Nossa meta é simplificar essa matriz para encontrar o posto e o núcleo. Vamos fazer isso usando operações elementares para reduzir A a uma forma escalonada.

Passo 3

Vamos realizar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Começamos com a primeira coluna:
  • O primeiro elemento da primeira coluna já é 1, ótimo.
  • Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow [2 - 2(1), -1 - 2(-2), 3 - 2(-1)] = [0, 3, 5]
Subtraia 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 7R1 Rightarrow [7 - 7(1), -8 - 7(-2), 3 - 7(-1)] = [0, 6, 10]
Subtraia 5 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 5R1 Rightarrow [5 - 5(1), -7 - 5(-2), 0 - 5(-1)] = [0, 3, 5]
A matriz fica assim:
1 & -2 & -1 0 & 3 & 5 0 & 6 & 10 0 & 3 & 5

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O primeiro elemento não nulo da segunda coluna é 3. Vamos usar isso para eliminar os elementos abaixo.
Dividimos a segunda linha por 3 para simplificar:
R2 = 13R2 Rightarrow [0, 1, 53]
Agora, eliminamos os elementos abaixo:
Subtraia 6 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 6R2 Rightarrow [0, 6 - 6(1), 10 - 6(53)] = [0, 0, 0]
Subtraia 3 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3R2 Rightarrow [0, 3 - 3(1), 5 - 3(53)] = [0, 0, 0]
A matriz agora fica:
1 & -2 & -1 0 & 1 & 53 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Finalmente, vamos eliminar o -2 na primeira linha, segunda coluna, usando a segunda linha:
R1 = R1 + 2R2 Rightarrow [1 + 2(0), -2 + 2(1), -1 + 2(53)] = [1, 0, 73]
A matriz está na forma escalonada reduzida:
1 & 0 & 73 0 & 1 & 53 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora que a matriz está reduzida, podemos identificar o posto rho(A) como o número de linhas não nulas, que é 2. Isso significa que a imagem de A tem dimensão 2.
Para encontrar uma base para im A , pegamos os vetores coluna correspondentes aos pivôs. No caso, as duas primeiras colunas da matriz original:
1 2 7 5 e -2 -1 -8 -7
Portanto, uma base para im A é:
1 2 7 5, -2 -1 -8 -7

Passo 7

Para encontrar o núcleo [N_A), precisamos resolver a equação . A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
Vamos expressar as variáveis livres. Aqui, .
Então:
Podemos escrever a solução como:
Portanto, uma base para é:

Passo 8

Agora, vamos verificar se rho(A) + nu(A) = n , onde n é o número de colunas da matriz A .
Já sabemos que:
rho(A) = 2 nu(A) = 1 n = 3
Calculando:
2 + 1 = 3
Portanto, a igualdade rho(A) + nu(A) = n é satisfeita.

Resposta

Encontramos que uma base para im A é composta pelos vetores 1 2 7 5 e -2 -1 -8 -7 , e uma base para NA é o vetor -73 -53 1 . Além disso, verificamos que rho(A) + nu(A) = 3 , confirmando que 2 + 1 = 3 .

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