1. Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 3 \\\\ 1 & 4 & -2 \end{array}\right),
verifique se o sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial ou infinitas soluções.
Resolva o sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-z=0 \end{array}\right.
e descreva o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas distintas:
  • Primeiro: é dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 3 \\\\ 1 & 4 & -2 \end{array}\right),
e pede-se verificar se o sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial ou infinitas soluções.
  • Segundo: resolver o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-z=0 \end{array}\right.
e descrever o conjunto solução (ou seja, escrever todas as soluções de forma parametrizada).
Informações relevantes dadas:
  • A primeira parte é um sistema homogêneo associado a uma matriz quadrada 3\times3.
  • A segunda parte é um sistema linear com duas equações e três incógnitas ( x,y,z), portanto espera-se que haja infinitas soluções (um espaço de soluções com dimensão pelo menos 1), mas vamos confirmar e encontrar a descrição explícita.

Passo 2

Estratégia para a primeira parte (matriz 3\times3): um sistema homogêneo A X=0 tem apenas a solução trivial X=0 se e somente se a matriz A for invertível. Uma maneira direta de verificar invertibilidade para uma matriz 3\times3 é calcular o determinante: se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial; se \det(A)=0 então A não é invertível e o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
Vou calcular \det(A) escolhendo a expansão por cofatores na primeira linha. Lembrando que, para um elemento a_{1j} da primeira linha, o cofator é (-1)^{1+j} vezes o determinante do menor obtido apagando a primeira linha e a coluna j.
Os menores e cofatores correspondentes são:
Para a_{11}=-3: o menor é
\begin{vmatrix}5 & 3 \\[4pt] 4 & -2\end{vmatrix} =5\cdot(-2)-3\cdot4=-10-12=-22.
O termo da expansão é a_{11} vezes esse menor, sem alteração de sinal (pois (-1)^{1+1}=+1):
-3\cdot(-22)=66.
Para a_{12}=1: o menor é
\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] 1 & -2\end{vmatrix} =1\cdot(-2)-3\cdot1=-2-3=-5.
O cofator tem sinal negativo ( (-1)^{1+2}=-1), então o termo da expansão é
1\cdot(-1)\cdot(-5)=+5.
Para a_{13}=1: o menor é
\begin{vmatrix}1 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{vmatrix} =1\cdot4-5\cdot1=4-5=-1.
O cofator tem sinal positivo ( (-1)^{1+3}=+1), então o termo é
1\cdot(-1)=-1.
Somando os três termos obtemos o determinante:
\det(A)=66+5-1=70.
Como \det(A)=70\neq0, a matriz A é invertível. Logo, o sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial X=0.]

Passo 3

Agora a segunda parte: resolver
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-z=0 \end{array}\right.
Observação inicial: são 2 equações e 3 incógnitas, portanto espera-se uma família infinita de soluções que pode ser parametrizada por um grau de liberdade (uma variável livre).
Método: eliminação para expressar x e y em função de z (escolho z como parâmetro livre). Faço operações lineares simples.
Multiplico a primeira equação por 2 e subtraio a segunda para eliminar x:
2\cdot(x+2y+3z)=2x+4y+6z,
e subtraindo a segunda equação 2x+y-z obtemos
(2x+4y+6z)-(2x+y-z)=3y+7z=0.
Portanto
3y+7z=0\quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{7}{3}z.
Agora substituo y na primeira equação para encontrar x:
A primeira equação é x+2y+3z=0. Substituindo y=-\dfrac{7}{3}z,
x+2\left(-\dfrac{7}{3}z\right)+3z=0.
Calculo o termo com y:
2\left(-\dfrac{7}{3}z\right)=-\dfrac{14}{3}z.
Somando com 3z (que é \dfrac{9}{3}z):
-\dfrac{14}{3}z+\dfrac{9}{3}z=-\dfrac{5}{3}z.
Logo a equação fica
x-\dfrac{5}{3}z=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5}{3}z.
Assim obtemos x e y em função de z:
x=\dfrac{5}{3}z,\qquad y=-\dfrac{7}{3}z,\qquad z \text{ livre.}
Escrevendo a solução em forma vetorial, deixando z como parâmetro t\in\mathbb{R} (posso usar t=z):
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\[4pt]-\dfrac{7}{3}\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Para uma parametrização com coordenadas inteiras, defino t=\dfrac{s}{3} ou simplesmente escolho s=3t. Tomando parâmetro s\in\mathbb{R} com z=3s (ou diretamente reescrevendo o vetor multiplicando por 3), obtemos a forma mais simples
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}5\\[4pt]-7\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (pode ser útil na prova): substituindo (x,y,z)=s(5,-7,3) nas equações:
Primeira: 5s+2(-7s)+3(3s)=5s-14s+9s=0. Segunda: 2(5s)+(-7s)-(3s)=10s-7s-3s=0. OK.
Geometria da solução: é uma reta (passando pela origem) no espaço \mathbb{R}^3, gerada pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ -7\\\ 3\end{pmatrix}. Isso mostra que o espaço solução tem dimensão 1.]

Passo 4

Resumo conceitual rápido para fixar a ideia (útil na prova):
  • Para A quadrada n\times n: se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema homogêneo A X=0 tem apenas X=0.
  • Para um sistema com menos equações que incógnitas (aqui 2 equações e 3 incógnitas), em geral espera-se infinitas soluções; parametriza-se por variáveis livres e descreve-se o conjunto solução como um subespaço (aqui uma reta) do \mathbb{R}^3.

Resposta

O sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial X=0.
\displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y+3z=0,\;2x+y-z=0\}=\{s(5,-7,3)\mid s\in\mathbb{R}\}

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