e descrever o conjunto solução (ou seja, escrever todas as soluções de forma parametrizada).
Informações relevantes dadas:
A primeira parte é um sistema homogêneo associado a uma matriz quadrada 3\times3.
A segunda parte é um sistema linear com duas equações e três incógnitas (x,y,z), portanto espera-se que haja infinitas soluções (um espaço de soluções com dimensão pelo menos 1), mas vamos confirmar e encontrar a descrição explícita.
Passo 2
Estratégia para a primeira parte (matriz 3\times3): um sistema homogêneo A X=0 tem apenas a solução trivial X=0 se e somente se a matriz A for invertível. Uma maneira direta de verificar invertibilidade para uma matriz 3\times3 é calcular o determinante: se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial; se \det(A)=0 então A não é invertível e o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
Vou calcular \det(A) escolhendo a expansão por cofatores na primeira linha. Lembrando que, para um elemento a_{1j} da primeira linha, o cofator é (-1)^{1+j} vezes o determinante do menor obtido apagando a primeira linha e a coluna j.
Observação inicial: são 2 equações e 3 incógnitas, portanto espera-se uma família infinita de soluções que pode ser parametrizada por um grau de liberdade (uma variável livre).
Método: eliminação para expressar x e y em função de z (escolho z como parâmetro livre). Faço operações lineares simples.
Multiplico a primeira equação por 2 e subtraio a segunda para eliminar x:
2\cdot(x+2y+3z)=2x+4y+6z,
e subtraindo a segunda equação 2x+y-z obtemos
(2x+4y+6z)-(2x+y-z)=3y+7z=0.
Portanto
3y+7z=0\quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{7}{3}z.
Agora substituo y na primeira equação para encontrar x:
A primeira equação é x+2y+3z=0. Substituindo y=-\dfrac{7}{3}z,
Para uma parametrização com coordenadas inteiras, defino t=\dfrac{s}{3} ou simplesmente escolho s=3t. Tomando parâmetro s\in\mathbb{R} com z=3s (ou diretamente reescrevendo o vetor multiplicando por 3), obtemos a forma mais simples
Verificação rápida (pode ser útil na prova): substituindo (x,y,z)=s(5,-7,3) nas equações:
Primeira: 5s+2(-7s)+3(3s)=5s-14s+9s=0. Segunda: 2(5s)+(-7s)-(3s)=10s-7s-3s=0. OK.
Geometria da solução: é uma reta (passando pela origem) no espaço \mathbb{R}^3, gerada pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ -7\\\ 3\end{pmatrix}. Isso mostra que o espaço solução tem dimensão 1.]
Passo 4
Resumo conceitual rápido para fixar a ideia (útil na prova):
Para A quadrada n\times n: se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema homogêneo A X=0 tem apenas X=0.
Para um sistema com menos equações que incógnitas (aqui 2 equações e 3 incógnitas), em geral espera-se infinitas soluções; parametriza-se por variáveis livres e descreve-se o conjunto solução como um subespaço (aqui uma reta) do \mathbb{R}^3.
Resposta
O sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial X=0.