- Mostre que todo subespaço não trivial de
é geometricamente uma reta passando pela origem.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Foi dado um subespaço
de . - O enunciado pede para mostrar que todo subespaço não trivial de
é geometricamente uma reta passando pela origem.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
- Um subespaço é um conjunto fechado para soma e multiplicação por escalar e que contém o vetor zero.
- Em
os possíveis tamanhos “dimensionais” de um subespaço são , ou (isto será explicado adiante). - Interpretarei a frase “subespaço não trivial” no sentido usual de excluir o subespaço zero; a demonstração a seguir também mostra que, além do subespaço zero, os únicos subespaços possíveis são uma reta através da origem ou todo
.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar e com exemplos).
-
Definição de span (fecho linear): para um vetor
, Esse conjunto é geometricamente a reta que passa pela origem na direção de. Exemplo: se então , uma reta de coeficiente angular passando pela origem. -
Linear (in)dependência: dois vetores
são linearmente independentes se a única solução do comé . Se existe que satisfaz, os vetores são dependentes; nesse caso um é múltiplo escalar do outro. -
Dimensão e base (intuição): em
qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes gera todo o espaço (formam uma base). Qualquer subespaço tem dimensão , ou : dimensão é apenas ; dimensão é uma reta através da origem; dimensão é todo .
Passo 3
Começo da prova: escolha de um vetor não-nulo em
.
- Como
é não trivial, existe algum vetor com . - Considere o conjunto
. Por definição de subespaço, porque é fechado para multiplicação por escalar e contém . - Observação geométrica:
é a reta que passa pela origem na direção de . Então já temos dentro de pelo menos uma reta passando pela origem.
Passo 4
Caso fácil:
é exatamente a reta gerada por
.
- Se
, então é uma reta passando pela origem e estamos feitos. - Portanto, todo subespaço não-trivial que não contém outro vetor fora dessa reta é uma reta pela origem.
Passo 5
Caso contrário: existe um vetor em
que não está na reta
.
- Suponha agora que existe
tal que . Isso significa exatamente que não é múltiplo escalar de . - Dessa forma
e não são múltiplos um do outro, então e são linearmente independentes (se fossem dependentes teríamos para algum , contradizendo ).
Passo 6
Dois vetores independentes em
geram todo
; conclusão do caso.
- Como
e são linearmente independentes em , o conjunto forma uma base de . Logo - Mas
porque é subespaço e contém e . Assim , e portanto .
Passo 7
Organizando as possibilidades e tirando a conclusão final.
- Resumindo: dado um subespaço
, - ou
(dimensão ); - ou existe
em e todo vetor de é múltiplo de , isto é (dimensão , geometricamente uma reta passando pela origem); - ou existem
linearmente independentes e então (dimensão ).
- ou
- Portanto, qualquer subespaço próprio e não-nulo de
tem dimensão e é geometricamente uma reta que passa pela origem.
Passo 8
Um exemplo concreto para fixar a ideia (rápido e amigo).
- Exemplo: tome
. Escolhendo tem-se . É uma reta passando pela origem. - Se adicionarmos outro vetor não colinear, por exemplo
, o conjunto gera .
Resposta
Qualquer subespaço
de
é exatamente um dos três:
, uma reta passando pela origem (isto é,
para algum
) ou todo
. Portanto, todo subespaço próprio e não-nulo de
é geometricamente uma reta passando pela origem.