1. Mostre que todo subespaço não trivial de \mathbb{R}^{2} é geometricamente uma reta passando pela origem.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Foi dado um subespaço S de \mathbb{R}^{2}.
  • O enunciado pede para mostrar que todo subespaço não trivial de \mathbb{R}^{2} é geometricamente uma reta passando pela origem.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Um subespaço é um conjunto fechado para soma e multiplicação por escalar e que contém o vetor zero.
  • Em \mathbb{R}^{2} os possíveis tamanhos “dimensionais” de um subespaço são 0, 1 ou 2 (isto será explicado adiante).
  • Interpretarei a frase “subespaço não trivial” no sentido usual de excluir o subespaço zero; a demonstração a seguir também mostra que, além do subespaço zero, os únicos subespaços possíveis são uma reta através da origem ou todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar e com exemplos).
  • Definição de span (fecho linear): para um vetor v\in\mathbb{R}^{2},
    \operatorname{span}\{v\}=\{t\,v \mid t\in\mathbb{R}\}.
    Esse conjunto é geometricamente a reta que passa pela origem na direção de v. Exemplo: se v=(1,2) então \operatorname{span}\{v\}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}, uma reta de coeficiente angular 2 passando pela origem.
  • Linear (in)dependência: dois vetores v,w\in\mathbb{R}^{2} são linearmente independentes se a única solução do
    a\,v+b\,w=0
    com a,b\in\mathbb{R} é a=b=0. Se existe (a,b)\neq(0,0) que satisfaz, os vetores são dependentes; nesse caso um é múltiplo escalar do outro.
  • Dimensão e base (intuição): em \mathbb{R}^{2} qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes gera todo o espaço (formam uma base). Qualquer subespaço tem dimensão 0, 1 ou 2: dimensão 0 é apenas \{0\}; dimensão 1 é uma reta através da origem; dimensão 2 é todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Começo da prova: escolha de um vetor não-nulo em S.
  • Como S é não trivial, existe algum vetor v\in S com v\neq 0.
  • Considere o conjunto \operatorname{span}\{v\}=\{t\,v\mid t\in\mathbb{R}\}. Por definição de subespaço, \operatorname{span}\{v\}\subseteq S porque S é fechado para multiplicação por escalar e contém v.
  • Observação geométrica: \operatorname{span}\{v\} é a reta que passa pela origem na direção de v. Então já temos dentro de S pelo menos uma reta passando pela origem.

Passo 4

Caso fácil: S é exatamente a reta gerada por v.
  • Se S=\operatorname{span}\{v\}, então S é uma reta passando pela origem e estamos feitos.
  • Portanto, todo subespaço não-trivial que não contém outro vetor fora dessa reta é uma reta pela origem.

Passo 5

Caso contrário: existe um vetor em S que não está na reta \operatorname{span}\{v\}.
  • Suponha agora que existe w\in S tal que w\not\in\operatorname{span}\{v\}. Isso significa exatamente que w não é múltiplo escalar de v.
  • Dessa forma v e w não são múltiplos um do outro, então v e w são linearmente independentes (se fossem dependentes teríamos w=c\,v para algum c, contradizendo w\not\in\operatorname{span}\{v\}).

Passo 6

Dois vetores independentes em \mathbb{R}^{2} geram todo \mathbb{R}^{2}; conclusão do caso.
  • Como v e w são linearmente independentes em \mathbb{R}^{2}, o conjunto \{v,w\} forma uma base de \mathbb{R}^{2}. Logo \operatorname{span}\{v,w\}=\mathbb{R}^{2}.
  • Mas \operatorname{span}\{v,w\}\subseteq S porque S é subespaço e contém v e w. Assim \mathbb{R}^{2}\subseteq S, e portanto S=\mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Organizando as possibilidades e tirando a conclusão final.
  • Resumindo: dado um subespaço S\subseteq\mathbb{R}^{2},
    • ou S=\{0\} (dimensão 0);
    • ou existe v\neq 0 em S e todo vetor de S é múltiplo de v, isto é S=\operatorname{span}\{v\} (dimensão 1, geometricamente uma reta passando pela origem);
    • ou existem v,w\in S linearmente independentes e então S=\mathbb{R}^{2} (dimensão 2).
  • Portanto, qualquer subespaço próprio e não-nulo de \mathbb{R}^{2} tem dimensão 1 e é geometricamente uma reta que passa pela origem.

Passo 8

Um exemplo concreto para fixar a ideia (rápido e amigo).
  • Exemplo: tome S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=2x\}. Escolhendo v=(1,2) tem-se \operatorname{span}\{v\}=S. É uma reta passando pela origem.
  • Se adicionarmos outro vetor não colinear, por exemplo w=(0,1), o conjunto \{v,w\} gera \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Qualquer subespaço S de \mathbb{R}^{2} é exatamente um dos três: \{0\}, uma reta passando pela origem (isto é, \operatorname{span}\{v\} para algum v\neq0) ou todo \mathbb{R}^{2}. Portanto, todo subespaço próprio e não-nulo de \mathbb{R}^{2} é geometricamente uma reta passando pela origem.

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